Gerson e os números de 5 algarismos (com e sem o “2″)

Oi Gerson, tudo bem?

O problema que você tem dúvida trata do Princípio Multiplicativo (ou Princípio Fundamental da Contagem – PFC), que é um dos tópicos de estudo da Análise Combinatória.

Em geral, os problemas de Análise Combinatória oferecem mais dificuldade subjetivamente do que matematicamente, isto é, depende muito da interpretação de quem lê.

Primeiro, vamos considerar os números de 10.000 até 30.000 da seguinte maneira:

De 10.000 até 19.999 (1º conjunto)

De 20.000 até 29.999 (2º conjunto)

e

30.000 (3º conjunto, unitário)

Por quê?

Porque ficará mais fácil entender o que se pede.

Então, vamos lá:

a) Quantos números não têm algarismos repetidos?

Para determinar quantos números não possuem algarismos repetidos, você deve pensar que o número formado com 5 algarismos do conjunto dos algarismos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} não poderá ter elemento REPETIDO, ou seja, números como 12.342, 54.844 ou 30.000 não poderão fazer parte desse conjunto, certo?

Então, resolver essa questão significa pensar nas ESCOLHAS que poderemos ter para cada casa decimal (ou a posição do algarismo que compõe o número).

Observe o esquema abaixo, onde cada espaço representa uma casa decimal do número de cinco algarismos:

Escolhas

Possibilidades

dm

m

c

d

u

Na 1ª linha temos as ESCOLHAS que podemos fazer.   Na 2ª linha temos as POSSIBILIDADES de escolhas para aquela determinada posição (casa decimal)

Bom, como os números vão de 10.000 até 30.000, não podemos ter o algarismo ZERO na última casa decimal.   Além disso, o último número (30.000) é o único que tem o algarismo 3 na última casa decimal.

Mas como possui algarismos repetidos (4 zeros), o número 30.000 não poderá ser escolhido.

Assim, as únicas possibilidades de algarismos para esta posição são: o 1 ou o 2, concorda?

Portanto, temos, no máximo, duas escolhas para fazer.

Escolhas

2

Possibilidades

{1, 2}

m

c

d

u

Para as outras casas decimais (unidade, dezena, centena e milhar), a restrição não é tão grande.   Basta lembrar que, como o conjunto dos algarismos têm, exatamente, 10 elementos, se um deles é escolhido para a última casa (1 ou 2) sobrarão 9 elementos para escolhermos ({0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ou {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}) para a próxima casa decimal, assim:

Escolhas

2

9

Possibilidades

{1, 2}

m

c

d

u

E esse raciocínio se repete até a primeira casa decimal:

Escolhas

2

9

8

7

6

Possibilidades

{1, 2}

m

c

d

u

Pelo Princípio Multiplicativo, o resultado será o produto de todas as ESCOLHAS possíveis.   Então:

2 x 9 x 8 x 7 x 6 = 6048

Portanto, existem 6048 números entre 10.000 e 30.000 que não têm algarismos repetidos.

b) Em quantos números o algarismo 2 aparece, não importando o número de vezes?

Para resolver esse item, você pode usar um raciocínio simples mas eficaz, que é pensar no conjunto de TODOS os números de 5 algarismos (entre 10.000 e 30.000) dividido em dois outros subconjuntos:

NT = conjunto de todos os números entre 10.000 e 30.000

N(2) = conjunto dos números que possuem o algarismo 2

Ñ(2) = conjunto dos números que NÃO possuem o algarismo 2

Dessa forma, podemos escrever o seguinte:

NT = N(2) + Ñ(2)

logo

N(2) = NT – Ñ(2)

Percebeu?

E calcular o total e os números que NÃO têm o algarismo 2 na sua formação é mais fácil do que calcular a quantidade de números que possuem o algarismo 2 na sua formação.

Veja só:

Como o conjunto vai de 10.000 até 30.000, temos, no total, 20.001 números.

Isto também pode ser comprovado pelo Princípio Multiplicativo:

Escolhas

2

10

10

10

10

Possibilidades

{1, 2}

m

c

d

u

Ou seja, temos 20.000 números (2 x 10 x 10 x 10 x 10 = 2 x 104 = 2 x 10.000) que começam com 1 e 2 (do 10.000 até o 29.999) MAIS o número 30.000 (o único que começa com 3).

Para calcularmos a quantidade de números em que o algarismo 2 NÃO aparece, usamos o mesmo raciocínio, através do Princípio Multiplicativo:

Escolhas

1

9

9

9

9

Possibilidades

{1}

m

c

d

u

Note que na última casa decimal só temos UMA possibilidade, já que o algarismo 2 não deve aparecer em nenhuma posição e o ZERO não pode aparecer na última casa decimal (senão o número teria apenas 4 casas decimais, e não 5).

Igualmente, nas outras casas decimais (unidade, dezena, centena e milhar) teremos apenas 9 possibilidades de escolha pelo mesmo motivo: retiramos o 2 do conjunto dos algarismos naturais {0, 1, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}.

Dessa forma, temos um total de 1 x 94 = 6561 números de 5 algarismos que começam com o algarismo 1 tais que o algarismo 2 não aparece em nenhuma casa decimal.

Além disso, como o 30.000 não tem o algarismo 2, temos que somá-lo ao resultado anterior.   Logo, temos 6561 + 1 = 6562 números de 5 algarismos onde o algarismo 2 não aparece em nenhuma casa decimal.

Então, retornando ao início do raciocínio, temos que:

N(2) = NT – Ñ(2)

N(2) = 20.001 – 6562

N(2) = 13.439

Portanto, existem 13.439 números de 5 algarismos, entre 10.000 e 30.000, que possuem o algarismo 2 na sua formação, sem considerarmos a quantidade de vezes que ele se repete.

c) Em quantos números o algarismo 2 aparece – exatamente – 3 vezes?

Bom, para esse item, é interessante você pensar em dois subconjuntos de números: os que começam com o algarismo 2 e aqueles que não.

Por quê?

Veja: se o número começa com o 2, então este algarismo deverá se repetir APENAS 2 vezes nas outras casas decimais.   Caso contrário (se o número NÃO começar com 2) ele deverá se repetir exatamente 3 vezes.   Entendeu?

Então, para resolver isso, usaremos (mais uma vez) o Princípio Multiplicativo, observe:

1º caso: conjunto dos números que começam com o algarismo 2

Escolhas

1

1

9

9

Possibilidades

{2}

{2}

{2}

d

u

Note que eu coloquei mais dois algarismos 2 nas casas da centena e do milhar, porque eles deverão aparecer mais duas vezes.

Nas outras duas casas (unidade e dezena) posso escolher um algarismo para cada casa no conjunto de 9 possibilidades {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} que podem – ou não – se repetir.

Porém, esses dois algarismos 2 não vão – necessariamente – ocupar APENAS as duas casas decimais que eu citei acima.   Existem outras possibilidades de combinações para que esses dois algarismos figurem em duas das quatro casas decimais, concorda?

E como fazer isso?

Simples: basta que você use a regra da Combinação Simples para as duas casas decimais “vazias” (unidade e dezena), isto é, a Combinação de 4 elementos tomados 2 a 2.

***********************************************************************************************

Caso você não lembre, aí vai a definição:

  • Denominamos Combinações Simples de n elementos distintos tomados p a p, com> p,  os subconjuntos formados por p elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Denotamos por C n, p o número total de combinações de n elementos tomados p a p e o calculamos através da expressão:

C n, p = n! / p!(n – p)!

Por exemplo:

No conjunto P = {a,b.c,d} podemos considerar as:

a) combinações de 4 elementos tomados 2 a 2ab, ac, ad, bc, bd, cd

b) combinações de 4 elementos tomados 3 a 3: abc, abd, acd, bcd

c) combinações de 4 elementos tomados 4 a 4: abcd

***********************************************************************************************

Assim, de volta ao problema, temos:

C4, 2 = 4! / 2!(4 – 2)! = 4! / 2!2! = 4 x 3 / 2 x 1= 6

Logo, o resultado nesse caso é calculado da seguinte maneira:

C4, 2 x 1 x 9 x 9 = 6 x 81 = 486

Ou seja, existem 486 números em que o algarismo 2 aparece exatamente 3 vezes, e todos começam com o algarismo 2.

2º caso: conjunto dos números que NÃO começam com o algarismo 2

O raciocínio aqui é análogo, modificando apenas a quantidade de casas decimais que estarão ocupadas pelo algarismo 2.

Escolhas

1

1

9

Possibilidades

{1}

{2}

{2}

{2}

u

E a combinação aqui será de 1 em 4:

C4, 1 = 4! / 1!(4 – 1)! = 4! / 1!3! = 4 = 4

Logo, o resultado nesse caso é calculado da seguinte maneira:

C4, 1 x 1 x 1 x 9 = 4 x 9 = 36

Ou seja, existem 36 números em que o algarismo 2 aparece exatamente 3 vezes, mas nenhum deles começa com o algarismo 2.

Portanto, o resultado final será a soma desses dois resultados encontrados, isto é, existem exatamente 486 + 36 = 522 números de 5 algarismos entre 10.000 e 30.000 tais que o algarismo 2 aparece exatamente 3 vezes.

O texto ficou longo porque, como disse no início, a interpretação nesse tipo de questão é fundamental.

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

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2 pensamentos sobre “Gerson e os números de 5 algarismos (com e sem o “2″)

  1. Pingback: Raphael e os números menores que 30.000 « Marco Castro

  2. Parabéns!

    Não posso dizer que sempre odiei matemática, mas ficava triste por não entender muito bem… Teu blog tem me ajudado muito!

    Abraços!!

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