Karen e os algarismos

Oi Karen, tudo bem?

A dúvida que você postou trata de um assunto chamado Análise Combinatória, mais especificamente Arranjo Simples.

Nessa questão, você deve observar a quantidade de algarismos que compõe os números compreendidos entre 300 e 3000.   Repare que esse conjunto finito pode (e deve) ser dividido em dois subconjuntos menores e em função da quantidade de algarismos para melhorar o entendimento, ou seja, o primeiro subgrupo com os números de 3 algarismos (300 a 999) e o segundo grupo com os números de 4 algarismos (1000 a 3000).   Assim:

{300, …, 3000} = {300, …, 999} ∪ {1000, …, 3000}

Isto irá facilitar a resolução da questão pois, separando dessa forma, podemos calcular a quantidade de números em função quantidade de algarismos dos elementos (como disse ali em cima: 3 e 4 alagarismos) que compõe cada subconjunto, certo?

Para lembrar, a fórmula para o Arranjo Simples é dada pela expressão:

A_{n, p} = n!/(n-p)!

Onde n é o número total de elementos do conjunto que estamos trabalhando e p o número de elementos dos subgrupos distintos (arranjos) que podem ser formados.   Além disso, queremos apenas que apareçam os seguintes alagarismos {1, 2, 3, 5, 7, 8}, correto?   (Por exemplo, números como 122, 585, 1377 ou 2888 não serão computados nesse cálculo porque um ou mais de algarismo se repete na composição do número).

Assim, o resultado que desejamos calcular é a soma dos resultados de cada subgrupo, ou seja:

Resultado Final = A_{6, 3} + A_{6, 4}

Então vamos lá:

Para o primeiro grupo de número com 3 algarismos apenas, queremos formar arranjos (subgrupos = números) com os 6 elementos dados (1, 2, 3, 5, 7 e 8) tomados 3 a 3 (cada subgrupo deverá ter somente 3 daqueles 6 elementos SEM que nenhum deles se repita).   Aplicando na fórmula, obtemos o seguinte:

A_{n, p} = n!/(n-p)!

A_{6, 3} = 6!/(6-3)!

A_{6, 3} = 6!/3!

A_{6, 3} = 6 x 5 x 4 x 3! / 3!

A_{6, 3} = 6 x 5 x 4

A_{6, 3} = 120

Portanto, podemos formar 120 números números distintos de 3 algarismos com os 6 algarismos do conjunto {1, 2, 3, 5, 7, 8}.

Para o segundo grupo de números com 4 algarismo apenas, procedemos de maneira análoga à anterior: 

A_{n, p} = n!/(n-p)!

A_{6, 4} = 6!/(6-4)!

A_{6, 4} = 6!/2!

A_{6, 4} = 6 x 5 x 4 x 3 x 2! / 2!

A_{6, 3} = 6 x 5 x 4 x 3

A_{6, 3} = 360

Portanto, podemos formar 360 números distintos de 4 algarismos com os 6 algarismos do conjunto {1, 2, 3, 5, 7, 8}.

Logo, o resultado (R) que procuramos é a soma dos dois resultados encontrados, ou seja:

R = A_{6, 3} + A_{6, 4}

R = 120 + 360

R = 480

Portanto, poderemos formar 480 números distintos entre 300 e 3000 utilizando apenas os algarismos {1, 2, 3, 5, 7, 8}.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

• Brasil Escola
• AlgoSobre.com
• Matemática Essencial