A régua do Jean

Oi Jean, tudo bem?

Antes de mais nada, verifique o enunciado da 1ª questão que você postou, porque me surgiram dúvidas, como:

1. “Uma barra de estanho tem uma forma de prisma reto de base 4cm²” - A base de todo prisma reto é – em geral – um polígono regular.   Não é dito qual é o polígono da base.

2. “Determine o comprimento e o volume dessa barra à temperatura de 518°F“. – Trata-se de uma resolução de Dilatação Volumétrica.   Isto significa que é preciso se calcular o volume inicial do prisma, cuja fórmula geral  é:

Volume = Área da Base x Altura

Não é informada a medida da altura do prisma, somente o comprimento, que vale 1m.   E aqui temos uma situação – no mínimo – equivocada porque, se a área da base mede 4cm², então o comprimento NÃO poderia medir 1m.   A menos – é claro – que essa medida seja da altura do prisma.    Aí o problema passa a fazer sentido.

Depois que você confirmar isso, volte a postar (confirmando ou retificando) o enunciado, ok?

Dito isto, vamos à 2ª questão.

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A sua dúvida é, como várias que respondi aqui mesmo no blog, uma aplicação direta do conceito de dilatação térmica dos sólidos e a correta aplicação da fórmula, claro. ;-)

Vamos lá então:

De forma geral, o problema é o seguinte: qual será a (nova) temperatura da régua para que a medida passe a variar 1mm a mais, certo?

Para resolver um problema desse tipo, usamos a expressão própria para a Dilatação Linear:

∆L = L0 . α . ∆T

Onde:

  • ∆L = L – L0: é a variação entre as medidas final e inicial (ou propriamente o valor da dilatação – ou contração – ocorrida)
  • α: é o coeficiente de dilatação linear (valor de referência que indica o quanto uma substância varia – em unidade de medida – a cada grau de temperatura).
  • ∆T = T – T0: é a variação entre as temperaturas final e inicial da substância

(Aliás, esse raciocínio é análogo para as dilatações superficial e volumétrica dos sólidos).

Então, retiramos do enunciado do problema as informações necessárias:

 T = ? (temperatura final do fioé o que desejamos calcular, certo?)

T0 = 20°C (temperatura inicial da régua))

αlatão = 19 x 10-6 °C-1  (coeficiente de dilatação linear da régua)

ΔL = L – L(variação do comprimento do fio)

Observe que, o aumento de 1mm na medida original devido à variação da temperatura (que certamente aumentou, concorda?) corresponde à variação do comprimento (ΔL) e o resultado de 30cm (L) corresponde à medida inicial (Lo) acrescida do erro (ΔL).

(E aqui é preciso fazer uma observação importante porque, esse enunciado permite duas interpretações: (1ª) o erro de 1mm ser acrescido na medida de 30cm ou; (2ª) o erro de 1mm ser acrescido na medida inicial resultando nos 30cm.   A solução comentada que farei aqui será com base na (2ª) interpretação, ok?   Mas fique tranquilo porque, se você quiser resolver pela (1ª) interpretação, a resolução será análoga.)

Então, podemos escrever a última igualdade acima da seguinte maneira:

ΔL = L – L

1mm = 30cm – Lo

Mas note que as unidades de medidas são diferentes.   Temos que converter uma delas para efetuarmos os cálculos corretamente.   E isto é simples porque, se 1cm = 10mm, logo 30cm = 300mm, certo?

Então:

ΔL = L – L

 1mm = 30cm – Lo

Lo = 300mm – 1mm

Lo = 300 - 1

Lo = 299

Logo, a medida inicial da régua era de 299mm.

Agora podemos substituir as informações na fórmula da Dilatação Térmica Linear:

∆L = L0 . α . ∆T

1 = 299 . 19.10-6 . (T – 20)

1 = 5681.10-6 . (T – 20)

1 / 5681.10-6 = T – 20

T – 20 = 1 / 5681.10-6 

T – 20 = 1 / 0,005681

T = 176,03 + 20

T = 196,03

Portanto – e por mais absurdo que pareça – é preciso que a régua de latão atinja uma temperatura aproximada de 196°C (quer dizer: 176°C a mais!) para aumentar 1mm no seu comprimento e provoque esse erro nas medidas.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

Diego e o paralelepípedo

Oi Diego, tudo bem?

A sua dúvida é, como várias que respondi aqui mesmo no blog, uma aplicação direta do conceito de dilatação térmica dos sólidos e a correta aplicação da fórmula, claro. ;-)

Vamos lá então:

De forma geral, o problema é o seguinte: qual será o (novo) volume do paralelepípedo quando a temperatura variar, certo?

Observe que, como a variação da temperatura é negativa (ela passa de 20ºC para -10ºC, portanto, diminui) o que acontecerá com o volume do sólido é que ele irá diminuir. Esse processo é chamado de contração térmica, que é – exatamente – o contrário da dilatação térmica.

E para resolver matematicamente esse problema, precisamos usar a fórmula para a dilatação volumétrica dos sólidos, que é:

ΔV = Vo x γ x ΔT

Então, retiramos do enunciado as informações necessárias para a resolução do problema:

Vo = (1000 x 1500 x 2000) cm= (1,0 x 1,5 x 2,0) m3 = 3,0 m(volume inicial do paraleleípedo)

To = 20°C (temperatura inicial do paraleleípedo)

T = -10°C (temperatura final do paraleleípedo)

αalumínio = 24 x 10-6 °C-1  (coeficiente de dilatação linear do aluminío)

ΔV = ? (ΔV = V – V= variação do volume do paralelepípedo – é o que desejamos calcular para determinarmos o volume final, certo?)

Agora, lembre que existe uma relação entre os coeficientes de dilatação linear (α), superficial (β) e volumétrica (γ):

 β = 2α

e

γ = 3α

Desta forma, podemos substituir as informações dadas na fórmula:

ΔV = Vo x γ x ΔT

ΔV = 3,0 x 3.24.10-6 x (-10 – 20)

ΔV = 3,0 x 72.10-6 x (-30)

ΔV = 216.10-6 x (-30)

ΔV = 216.10-6 x (-30)

ΔV = -6480.10-6

ΔV = -0,0648

Ou seja, o volume do paralelepípedo variou – negativamente – 0,0648 m3.   Isto significa que houve uma contração térmica (o volume reduziu), como era de se esperar realmente.

Agora ficou fácil determinar o volume final, pois:

ΔV = V – V

-0,0648 = V – 3,0

3,0 – 0,0648 = V

V = 2,99352

Portanto, o volume final do paralelepípedo será de 2,99352 m3.

Entendeu?
Bons Estudos!

Para Saber Mais: