Shirley e o problema do 1º grau

Oi Shirley, tudo bem?

Realmente o problema que está lhe causando “dores de cabeça” é, de fato, simples de ser resolvido.

Trata-se de um problema que envolve um Sistema de Equações do 1º grau e, como você mesma afirmou, a resolução é montar o sistema e depois resolvê-lo.

Então, vamos lá.

1. um número tem 8 unidades a mais que outro número

Um número: x

Outro número: y

Um número com 8 unidades a mais que outro número: x+8=y

2. a soma deles (dos dois números) é igual a 54

x+y=54

Notou que obtive duas equações em (1) e (2) envolvendo as duas incógnitas (números desconhecidos)?

Então, agora basta resolvermos o Sistema de Equações do 1º grau formado por essas duas equações:

1ª equação: x+8=y

2ª equação: x+y=54

Observe que podemos substituir a 1ª equação na 2ª equação, obtendo uma única equação com uma única incógnita:

x+y=54

x+(x+8)=54

x+x+8=54

2x=54-8

x=\frac{46}{2}

x=23

Agora, basta substituir o valor encontrado para x na 1ª equação para encontrarmos o valor de y, assim:

x+8=y

23+8=y

31=y

ou

y=31

Fácil, não?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

Pedro e os jovens que saíram de férias

Oi Pedro, tudo bem?

A dúvida que você postou não é tão difícil. Trata-se de mais um daqueles problemas onde é preciso montar um Sistema de Equações para resolvê-lo. Nesse caso, um Sistema de Equações do 1° grau.

Vamos lá.

O grupo é composto de 40 jovens no total, entre rapazes (x) e moças (y). Então, podemos escrever a 1ª equação do problema:

x+y=40

Além disso, sabe-se que a despesa total foi de R$ 2.400,00 e que seria dividida por todos os jovens. Então, podemos determinar o valor que cada jovem pagaria, certo?

\frac{2.400,00}{40}=60,00

Ou seja, cada jovem pagaria R$ 60,00 pela viagem de férias.

Porém, um acordo foi feito e ficou decidido que as moças não pagariam sua parte. E isto fez com que a parte dos rapazes (que era de R$ 60,00) aumentasse mais R$ 80,00. Com esta informação, podemos montar a 2ª equação do problema:

\frac{2.400,00}{x}=60,00+80,00=140,00

x= \frac{2.400,00}{140,00}

x= \frac{120}{7}

E aqui nós temos um resultado que não traduz significado coerente ao problema, uma vez que o conjunto “quantidade de pessoas” possui um número inteiro de elementos.

Note que para determinar a solução desejada, bastava substituir o número de rapazes (x) na 1ª equação que encontraríamos o número de moças.

Mas, uma vez que o resultado obtido foi fracionário, não podemos afirmar muita coisa. A menos que fosse feita uma aproximação para o resultado. Mas esse não é o procedimento correto em problemas desse tipo.

Mesmo assim, para que a solução não fique incompleta, vou terminá-la normalmente, mas lembre-se de que o resultado para o número de moças (y) também será fracionário.

Continuando então.

Uma vez determinado o número de rapazes (x= \frac{120}{7}), substituimos esse valor na 1ª equação. Então:

x+y=40

\frac{120}{7}+y=40

y=40- \frac{120}{7}

y= \frac{40 \cdot 7-120}{7}

y= \frac{280-120}{7}

y= \frac{160}{7}

Portanto, o número de moças seria igual a \frac{160}{7}.

Note que uma aproximação possível pode ser considerada ao efetuarmos ambos os quocientes (\frac{120}{7} e \frac{160}{7}), no qual teríamos:

x= \frac{120}{7}17

e

y= \frac{160}{7}23

Mas, como disse antes, isso não deveria acontecer…

Entendeu?

Espero ter ajudado!

Para Saber Mais:

A viagem da Caroline

Oi Caroline, tudo bem?

O problema que você tem dúvida, interpretado com calma, fica fácil de ser montado e, consequentemente, solucionado.

Primeiro, vamos chamar de “v”, a velocidade média e de “t”, o tempo gasto no percurso de 360km.

Assim, podemos traduzir as informações dadas, observe:

Um automóvel viajando em determinada velocidade média completou um percurso de 360km em t horas.  Então:

v = 360/t     (1ª eq.)

Caso essa velocidade fosse aumentada em 30km/h, a viagem teria durado uma hora a menos.  Então:

v + 30 = 360/t – 1     (2ªeq.)

Notou que dessa forma obtemos um sistema de equações do 1° grau (com v e t)?

Agora ficou simples.   Basta substituirmos a 1ª equação na 2ª equação:

360/t + 30 = 360/t – 1

(360 + 30t)/t = 360/t – 1

(360 + 30t)(t – 1) = 360t

360t – 360 + 30t² – 30t = 360t

 - 360 + 30t² – 30t = 0

 30t² – 30t – 360 = 0

(÷ 30)

 t² – t - 12 = 0

A equação quadrática encontrada possui raízes iguais a -3 e 4 (verifique!) e, como a grandeza calculada é o tempo t, não precisamos do valor negativo, pois não traduz significado físico ao problema, certo?

Portanto, o tempo gasto na viagem foi de 4 horas.

Entendeu?

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

 

A viagem da Caroline

Oi Caroline, tudo bem?

Esse problema que você tem dúvida se torna simples quando interpretado corretamente do “português” para o “matematiquês“.

“Mas o problema não é de Física?” – você poderia perguntar.   Sim, é.   Mas o conceito físico envolvido no problema (velocidade média no movimento uniforme) é simples.

Para que você compreenda melhor, vou chamar de “v” a velocidade média e de “t“, o tempo gasto no percurso.

Além disso, você não pode esquecer que a definição de velocidade média é o quociente entre a variação das posições (de um móvel) pela variação de tempo (gasto no percurso), isto é: 

v = ΔS/Δt 

Então vamos lá. 

Um automóvel viajando em determinada velocidade média completou um percurso de 360km em t horas. 

Então,

v = 360/t     (eq. 1)

 Caso essa velocidade fosse aumentada em 30km/h a viagem teria durado uma hora a menos. 

Então, 

v + 30 = 360/(t-1)     (eq. 2)

 Observe que as duas equações acima formam um sistema do 1° grau de duas variáveis (no caso, incógnitas – v e t) e, para resolvê-lo, basta substituir a 1ª equação na 2ª. 

Assim: 

360/t + 30 = 360/(t-1)

(360 + 30t)/t = 360/(t-1)

(360 + 30t)(t-1) = 360t

360t – 360 + 30t² – 30t = 360t

30t² – 30t – 360 = 0

(÷30)

t² – t – 12 = 0 

E a equação quadrática encontrada possui raízes iguais a -3 e 4 (verifique!) sendo que, o valor negativo não traduz significado físico para o problema (em outras palavras: não “existe” tempo negativo).

Portanto, o valor procurado é t = 4h, ou seja, a viagem durou 4 horas. 

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais: