Visitas x Comentários x Spam

A quem possa interessar: 

O blog não é atualizado com regularidade, confesso.

Mas não entendo essas mais de 460 visitas em relação aos 45 spams e aos pouquíssimos – quase raros –  comentários deixados por aqui.   Exceção daqueles que tiveram necessidade, por dúvida em alguma questão matemática ou comentaram movidos pelo absoluto impulso de replicar alguma coisa.

Preocupado com isso, venho informar que, caso alguém tenha deixado algum comentário que não apareceu até o momento, a culpa não é minha.   Todos que comentaram foram publicados.   A culpa – talvez em parte – seja do akismet.

Por sinal, não consegui também, até este momento, descobrir como faço para ver os tais “spams” que foram capturados.   Se alguém souber, por favor, me ensine.

Fora isso, acredito que esse número irreal seja em função dos visitantes casuais.   Tipo: alguém está procurando algo e, só pra se certificar em meio a tantas alternativas de sites, blog’s, etc.,  clica em algum link e acaba passando por aqui.

Ou não. 😉

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O Relógio do Ronaldo

Oi Ronaldo, tudo bem?

Rapaz, eu nunca olhei para um relógio durante tanto tempo!

Esta questão dos ângulos retos entre os ponteiros das horas e dos minutos de um relógio é do tipo que envolve raciocínio “hipotético-dedutivo” ou, como chamam – equivocadamente – por aí, de questão de “lógica“, isto porque a Lógica Matemática é uma teoria grande e que vai muito além disso.

Mas deixemos de frescuras teórico-formais e vamos ao que interessa.

A propósito, se você tiver um relógio analógico que possa mexer para seguir o que vai ler aqui seria ótimo, pois ajudaria bastante a sua visualização geométrica.

Primeiro, vamos pensar de forma simples: suponhamos que os ponteiros dos minutos e das horas estão, ambos, apontando para o 12, isto é, marcando meio-dia (ou meia-noite, tanto faz).   Embora o sentido positivo do deslocamento seja no sentido anti-horário (no sentido contrário ao do movimento dos ponteiros do relógio) vou aqui considerar justamente o contrário, somente para facilitar as coisas.

Continuando então: é claro que o ponteiro dos minutos gira mais rápido do que o ponteiro das horas e, através de uma regra-de-três simples podemos confirmar o óbvio: o ponteiro dos minutos é doze vezes mais rápido do que o ponteiro das horas.

Dessa forma, se ambos os ponteiros partem da posição 12 horas, podemos observar que dois ângulos retos serão formados enquanto o ponteiro das horas estiver se deslocando entre as posições 12 e 1 horas, certo?

E isto se repete até os ponteiros dos minutos e das horas se encontrarem novamente na posição 12 horas, isto é, após o ponteiro das horas ter se deslocado exatamente 12 horas, COM EXCEÇÃO dos deslocamentos entre as posições 2 e 3 horas e 8 e 9 horas, porque nestes intervalos será formado APENAS UM ângulo reto.   Por quê?

Simples: porque o SEGUNDO ângulo reto formado quando o ponteiro das horas se desloca entre as posições 2 e 3 horas é exatamente às três horas.   E a mesma coisa acontece quando o ponteiro das horas se desloca entre as posições 8 e 9 horas.    O SEGUNDO ângulo é reto é exatamente às nove horas!

Isto significa que em um período de 12 horas são formados 22 ângulos retos: 2 entre as posições 2 e 3 horas e 8 e 9 horas e os 20 restantes entre as outras posições, sacou?

Mas nesse problema, pede-se o número de ângulos retos em um período de 24 horas, ou seja, o dobro da análise anterior, portanto 44 ângulos retos!

No mais é isso aí.

Fui.   Porque já estou sem tempo… 😉

A área do terreno

Ronaldo, a solução desta questão é mais rápida, por isso postei antes que a do relógio, ok?

Vamos lá:

A área de um retângulo é a medida dada pelo produto dos seus lados, isto é, se chamarmos de “C” a medida do comprimento  e de “L” a medida da largura, a medida da área “A“, em unidades quadradas (km², m², cm², etc.) será:

A = C x L

Nesse problema, o perímetro (que é a soma de todos os lados do retângulo) mede 110 metros.   Ora, repare que somar os lados de um retângulo é somar as medidas do comprimento e da largura e multiplicar por dois, veja só:

2p = C + C + L + L = 2C + 2L = 2(C + L)

 (2p é a notação para perímetro)

Além disso, sabemos que o comprimento vale 30 metros, isto é, C = 30 m.

Com as informações acima, podemos escrever a primeira equação do problema, que é a do perímetro, observe:

2p = 2(C + L)

110 = 2(30 + L)

110 = 60 + 2L

110 – 60 = 2L

2L = 50

L = 25 m

Portanto, a área agora pode ser calculada:

A = C x L

A = 30 x 25

A = 750 m²

Então, o terreno em questão tem 750 metros quadrados de área.   Um terrenão.

No mais é isso aí.

As 90 questões do Ronaldo

Oi Ronaldo, tudo bem?

Caraca, cidadão!!!

Já chegou rasgando mesmo, hein?   Noventa questões, putz!!!

Mas, como dizia meu amigo e compadre Alexandre (www.alexandrebrito.com): “De graça, até injeção na testa…”

Meu caro, a situação é a seguinte: eu não estabeleço limite para o número de questões postadas aqui.   Na verdade, se a sua paciência permitir esperar até eu conseguir postar todas as respostas, tudo bem!

Mas saiba que faço isso com a única intenção de ajudar, isto significa que não vou te prometer prazos.   Como assim?

Simples: você pode postar 3, 4 ou 10 questões por dia aqui no blog, mas isto não garante que no dia seguinte você terá alguma dessas respostas.

Não é má vontade minha, mas falta de tempo mesmo, sacou?   Mas tão logo eu possa, posto tudo aqui, para o deleite dos cdf’s de plantão …(rs)

Sendo assim, conto com a sua compreensão (e aos demais que por aqui passarão) para este fato.

Até porque eu – ainda – estou de férias… 😉

No mais é isso aí.

Inté.

Turista

O blog está desatualizado sim, eu sei.

Mas, só para registrar: continuo de férias.

Por isso, passei por aqui.   Para os acidentais e os ocasionais de plantão. 😉

Maiores informações com o decorrer dos acontecimentos.

E pra saber o seguinte: alguém descobriu quantas pessoas participaram da reunião? (post abaixo).

Para ajudar os gênios não-ortodoxos: a resposta é 12.    Isso mesmo, 12 pessoas na reunião.   Como é possível?   Tentem mais um pouquinho…

Que a força esteja com vocês.

Os apertos de mãos

Olá para vocês que passam por aqui.    Mesmo que sem querer. 😉

Esse problema dos apertos de mãos eu coloquei em uma prova sobre análise combinatória faz algum tempo.

Resolvi postar aqui porque – além do óbvio e das taças de vinho que já mandei pra dentro – é um quebra-cabeça legal.

Pra quem gosta, claro.

Então vamos lá:

“Numa sala, havia um certo número de pessoas para uma reunião.   Todos os presentes se cumprimentaram apertando as mãos.   Se foram 66 apertos de mão no total, quantas pessoas haviam na sala?”

A resposta eu coloco depois…

Divirtam-se! 🙂

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Bom, atendendo aos pedidos da solução, aí vai:

Primeiro, para melhorar o raciocínio, pensemos numa quantidade pequena de pessoas em que essa situação ocorra digamos, A, B e C se cumprimentem.

Então, teremos os seguintes cumprimentos (apertos de mão):

 A → B e A → C

B → A e B → C

C → A e C → B

E estes são todos os cumprimentos possíveis, certo?

Mas, como vocês podem observar, existem eventos que se repetem, isto é, se A aperta a mão de B, B aperta (simultaneamente) a mão de A, observem:

 A → B e A → C

B → A e B → C

C → A e C → B

 

 

A divisão “sinistra” do Fábio

Oi Fábio, tudo bem?

A questão que você postou é sobre MDC. Vamos lá:

Deseja-se descobrir o maior número natural tal que, quando dividimos os números 150 e 654 por esse valor o resto da divisão é 6. E é claro que, ao descobrir esse número, poderemos somar seus algarismos.

Bom, vamos dar um nome para esse número, digamos “d” (de divisor).

Através do Algoritmo da Divisão (de Euclides), que é tão somente escrever a divisão como você conhece de forma linear, isto é, numa única linha, assim:

D = d.q + r

Onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente e r = resto.

Ora, nós temos dois dividendos – 150 e 654 – e queremos determinar um ÚNICO divisor “d” e que deixe resto 6 em ambas as divisões, certo?

Então vamos escrever as expressões para essas duas informações através do algoritmo da divisão:

654 = d.q + 6

e

150 = d.q’ + 6

Observe que os q e q’ são diferentes, por isso o () em q’, ok?

Subtraindo o 6 no lado esquerdo de ambas as equações, obtemos o seguinte:

650 – 6 = d.q -> 648 = d.q (eq.1)

e

150 – 6 = d.q’ -> 144 = d.q’ (eq.2)

As equações 1 e 2 nos informam que ambas as divisões – 144 por d e 648 por d – são exatas!

Isto significa que o divisor d é – na verdade – o maior divisor possível e comum entre aqueles dois números, ou seja, ele é o MDC entre 144 e 648.

E, caso você não se lembre, a definição para MDC (máximo divisor comum) é: o produto dos fatores primos comuns e com menor expoente em todas as fatorações”.

Dito isto, vamos escrever 144 e 648 em suas formas fatoradas:

144 = 2^{4} \cdot 3^{2}

e

648 = 2^{3} \cdot 3^{4}

Então:

MDC(144, 648 ) = 2^{3} \cdot 3^{2}=8 \cdot 9=72

Portanto, a soma dos algarismo de 72 vale 7 + 2 = 9.

E como você pode ter certeza de que esse é o valor correto?

Simples: basta dividir 150 por 72 e depois 654 por 72, você vair ver que vai dar resto 6 nas duas contas. 😉

No mais é isso aí.

Abraços.