Os apertos de mãos

Olá para vocês que passam por aqui.    Mesmo que sem querer. 😉

Esse problema dos apertos de mãos eu coloquei em uma prova sobre análise combinatória faz algum tempo.

Resolvi postar aqui porque – além do óbvio e das taças de vinho que já mandei pra dentro – é um quebra-cabeça legal.

Pra quem gosta, claro.

Então vamos lá:

“Numa sala, havia um certo número de pessoas para uma reunião.   Todos os presentes se cumprimentaram apertando as mãos.   Se foram 66 apertos de mão no total, quantas pessoas haviam na sala?”

A resposta eu coloco depois…

Divirtam-se! 🙂

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Bom, atendendo aos pedidos da solução, aí vai:

Primeiro, para melhorar o raciocínio, pensemos numa quantidade pequena de pessoas em que essa situação ocorra digamos, A, B e C se cumprimentem.

Então, teremos os seguintes cumprimentos (apertos de mão):

 A → B e A → C

B → A e B → C

C → A e C → B

E estes são todos os cumprimentos possíveis, certo?

Mas, como vocês podem observar, existem eventos que se repetem, isto é, se A aperta a mão de B, B aperta (simultaneamente) a mão de A, observem:

 A → B e A → C

B → A e B → C

C → A e C → B

 

 

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13 pensamentos sobre “Os apertos de mãos

  1. eh o chamado lema do aperto de mãos.

    se todas as pessoas se dão as mãos, o número de mãos apertadas são 66×2 = 132, como cada aperto = 2 mãos, temos 66 apertos de mão.

  2. olha gostei da questao ,pensei nela por alto pensei que a resposta fosse 11 a principio mas nao tinha parado para analizar direito.Ai hj quando estava trabalhando voutei a pensar na sua questao e vi que tinha um detalhe para resouve-la na hora do almoço falei com um colega de trabalho e pensando juntos chegamos a uma linha de raciocinio,e achamos que a resposta para os apertos era que na sala existia 12 pessoas………e ai quero a resposta acertamos?????????

  3. Olha o Leo precisa cair na real.. a questão pede o numero PESSOAS…
    O Lu junto com o amigo dele chegaram ao resultado correto…
    Conclui isto porque cheguei no mesmo, não sou professor mas estou seguro do resultado…
    Bela questão!!!!

  4. são realmente 12 pessoas… é um ótimo problema… desenvolvi uma formulazinha no excel e depois só fui testando com o número de pessoas até chegar em 66 apertos… Legal.

  5. no caso temos uma combinaçao de x pessoas duas a duas resultando em 66 apertos
    entao c(x,2) = x!/(x-2)!2!=66 = x (x-1) (x-2)! / 2! (x-1)! = 66 = x^2-x-132 = 0
    x1 = 12, x2 = -11 , portanto 12 pessoas

  6. Parabéns Rafael!!!

    Você acertou a resposta do quebra-cabeça utilizando combinação simples. Perfeito.

    Aos demais que conseguiram também utilizando outros métodos, meus parabéns também.

    Embora nenhum de vocês vá ganhar prêmio algum por isso (rs), poderão tirar onda com todo mundo…rs

    Vou buscar outro quebra-cabeça legal para postar, ok?

    Abraços.

    Marco Castro.

  7. Existe uma solução sem usar a combinação. Considerando que para um numero de pessoas x cada pessoa dá x-1 apertos de mão, multiplicamos x(x-1) e teremos o dobro do total de apertos de mão, pois na multiplicação a gente acaba considerando os dois casos (A aperta B e B aperta A), então, como igualdade, teremos que x(x-1)/2=66. Calculando:
    x²-x=132
    x²-x-132=0, então x’= 12 e x”= -13. Como a condição real só aceita numeros naturais diferentes de 0, são 12 pessoas.

    • Participei hoje de uma prova para bolsa e me deparei com o seguinte problema: 8 amigos se encontram numa festa e todos se cumprimentam, quantos são os apertos de mão ?

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