O Problema do Samuel

Oi Samuel, tudo bem?

Esse problema não chega a ser um “problema”.    Na verdade, trata-se de uma expressão algébrica como tantas outras.   Só que nessa aparece uma raiz quadrada.

O “problema” principal aqui é em relação à leitura e interpretação que o aluno faz.

E – claro –  a trascrição que é feita do português para o “matematiquês”.

Observe:

“um número natural” = x

“a raiz quadrada de um número natural” = sqrt(x)

(Aqui, uso a abreviação de raiz quadrada “sqrt” – do inglês: square root – no lugar da notação conhecida, o radical)

“o dobro da raiz quadrada de um número natural” = 2sqrt(x)

“o dobro da raiz quadrada de um nº natural diminuida de 8″=2sqrt(x)-8

“a nona parte desse número” = x/9

Juntando as duas últimas informações, já que são iguais, chegamos na expressão matemática que traduz o problema:

2sqrt(x) – 8 = x/9

2sqrt(x) = x/9 + 8

2sqrt(x) = (x + 72)/9

18sqrt(x) = (x + 72)

(elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade)

[18sqrt(x)]² = [x + 72]²

324x = x² + 144x + 5184

x² + 144x – 324x + 5184 = 0

x² – 180x + 5184 = 0

Chegamos a uma expressão quadrática (ou equação do segundo grau, como você deve ter aprendido, eu acho…).

Existem alguns métodos para resolvê-la.   O mais conhecido é o método de Bhaskara (ou fórmula de Bhaskara), que diz o seguinte:

Se existirem raízes reais de uma equação quadrática

ax² + bx + c = 0

(com “a” diferente de zero, claro! )

elas poderão ser determinadas através da expressão

x = [- b + sqrt(b² – 4ac)]/2a

Então, basta apenas substituir os coeficientes da equação encontrada (a = 1, b = -180 e c = 5184) na fórmula e partir para as contas.   Vamos lá:

x = {- (-180) + sqrt[(-180)² – 4.1.5184]}/2.1

x = [180 + sqrt(32400 – 20736)]/2

x = [180 + sqrt(11664)]/2

x = (180 + 108)/2

Então

x’ = (180 + 108)/2 = 288/2 = 144

ou

x” = (180 – 108)/2 = 72/2 = 36

Portanto, os números procurados que satisfazem o problema são: 144 e 36.

Faça as contas e comprove.

A propósito, esse conteúdo pode ser encontrado na maioria dos livros de sétima série e aprofundados em livros de oitava série.

Uma boa, feliz e instrutiva recuperação pra você. 😉

No mais é isso aí.

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Um pensamento sobre “O Problema do Samuel

  1. Caro Marco,
    Uma pequena brincadeira no Problema do Samuel
    Apresentação em formato $latex do wordpress de uma pequena passagem deste post .
    Como exemplo da notação matemática normal mostro esta aqui:
    Juntando as duas últimas informações, já que são iguais, chegamos na expressão matemática que traduz o problema:
    2\sqrt{x}-8=\dfrac{x}{9}
    2\sqrt{x}=\dfrac{x}{9}+8
    2\sqrt{x}=\dfrac{x+72}{9}
    18\sqrt{x}=x+72
    (elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade)
    \left ( 18\sqrt{x}\right )^2=\left ( x+72\right )^2
    324x=x^2+144x+5184
    x^2+144x-324x+5184=0
    x^2-180x+5184=0
    que é claro que correspondente – se não me enganei na transcrição – à sua passagem:
    « Juntando as duas últimas informações, já que são iguais, chegamos na expressão matemática que traduz o problema:
    2sqrt(x) – 8 = x/9

    2sqrt(x) = x/9 + 8
    2sqrt(x) = (x + 72)/9
    18sqrt(x) = (x + 72)
    (elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade)
    [18sqrt(x)]² = [x + 72]²
    324x = x² + 144x + 5184
    x² + 144x – 324x + 5184 = 0
    x² – 180x + 5184 = 0 »
    Não pretendo dizer que é melhor, apenas uma alternativa.
    Um abraço do
    Américo

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