Tattyana e a adição de radicais

A Tattyana enviou sua dúvida por e-mail.   Vamos lá:

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“Será que posso te perguntar aqui? rs
Te achei pelo site!
Vamos a pergunta..
 
Como se resolve a soma de dois números diferentes tendo como expoentes frações de denominadores diferentes?
Tipo esse:
 
2^(1/3) + 5^(3/5)
 
A mesma pergunta se for subtração.
Sei fazer essas contas na calculadora, o problema é quanto a fazer na mão… por isso queria ajuda.
Obrigada!”

 

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Oi Tattyana, tudo bem?

A sua dúvida consiste simplesmente em lembrar das propriedades das potências e dos radicais.

A regra geral para adição (e subtração) de radicais é que eles possuam o mesmo índice e o mesmo radicando.

Além disso, você deve lembrar que toda potência que tenha expoente fracionário é, na verdade, um radical.

A propriedade que deve ser lembrada nesses casos é a seguinte:

a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}

 Dessa forma, podemos pensar na expressão dada

2^{\frac{1}{3}}+5^{\frac{3}{5}}

Reescrita segundo a propriedade acima:

\sqrt[3]{2^{1}}+\sqrt[5]{5^{3}}

Para continuar com esse cálculo, precisamos “comparar” ambos os radicais de forma que possamos efetuar essa adição que, do jeito que está, não é possível.

Porém, da mesma maneira que usamos o MMC para reduzir denominadores distintos (e não-nulos) de frações distintas para efetuarmos cálculos de adição (e subtração), usamos uma propriedade dos radicais que lembra muito essa técnica.   Observe:

\sqrt[n]{a^{m}}=\sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}}

Esta propriedade nos garante que um número p pode ser multiplicado (ou dividido) simultaneamente no índice e no expoente do radicando sem que o radical original tenha o seu valor alterado.

Isto equivale a encontrar dois números distintos p e q tais que quando multiplicados pelos respectivos índices dos radicais, tenham o mesmo produto, isto é:

3p = 5q = k

Nesse caso, o número k é divisível simultaneamente por 3 e 5, ou seja:

k = MMC(3, 5) = 15 

Agora ficou fácil, porque conseguimos, com esse raciocínio, determinar os valores para p e q:

p = 5 e q = 3

Então, podemos dar prosseguimento ao cálculo:

\sqrt[3]{2^{1}}+\sqrt[5]{5^{3}}=\sqrt[3 \cdot 5]{2^{1 \cdot 5}}+\sqrt[5 \cdot 3]{5^{3 \cdot 3}} =\sqrt[15]{2^{5}} + \sqrt[15]{5^{9}}

Observe que o resultado encontrado não pode ser escrito como um único radical.   Isto porque, embora o índice das raízes seja o mesmo, os seus radicandos não são.

Além disso, os radicandos já estão fatorados e seus expoentes são menores do que o índice das raízes, isto é, não é possível retirar nenhum fator de dentro dos radicais.

Portanto,

2^{\frac{1}{3}}+5^{\frac{3}{5}} = \sqrt[15]{2^{5}} + \sqrt[15]{5^{9}}

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

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