As gotas do Fábio

Oi Fábio, tudo bem?

A dúvida que você postou trata de um tópico da Física chamado Queda Livre, cuja análise é feita de maneira análoga ao Movimento Univformemente Variado (MUV).

Só que na vertical, claro… 😉

Para resolver esse problema, você deve entender bem a situação física para, então, efetuar os devidos cálculos utilizando as devidas “ferramentas”, que são as fórmulas matemáticas.

Vamos lá.

Temos uma torneira que está exatamente a 1,0 metro do solo e que pinga 3 gotas a cada minuto.

É bom lembrar que esta situação representa um modelo de estudo, para que possamos considerar que as 3 gotas tenham a mesma massa.

Vamos analisar a situação:

G1, G2 e G3 são as três gotas consecutivas que pingam durante o intervalo de 3 minutos.

Para determinarmos a velocidade com que uma gota (no caso a primeira, G1) atinge o solo, precisamos usar a Função Horária da Velocidade para o movimento em Queda Livre.

E qual é essa fórmula?

Observe:

Na verdade, o movimento em Queda Livre tem características simples que facilitam a análise.

A velocidade inicial é nula, isto é:

V0 = 0 m/s

E a gravidade (que aqui aproximarei o valor para 10,0 m/s²) é a única aceleração atuante na variação da velocidade da gota, ou seja, à medida que a gota cai, sua velocidade aumenta (até atingir o solo).

Agora é preciso lembrar da Função Horária da Velocidade (para o MUV HORIZONTAL) :

V(t) = V0 + at

Onde:

V(t) = velocidade no tempo “t”;

V0 = velocidade inicial (em m/s);

a = aceleração (em m/s²);

t = tempo (em segundos)

Comparando essa expressão de um movimento (acelerado) horizontal com a situação dada (movimento acelerado vertical), podemos concluir que:

V(t) = velocidade no tempo “t”;

V0 = 0 m/s (zero ou nula, já que a gota está “parada” dentro do cano antes de cair);

a = g (aceleração da gravidade; com g < 0);

t = tempo (em segundos)

E, nesse caso, a Função Horária da Velocidade (para um movimento acelerado vertical) pode ser escrita como:

V(t) = gt

E o problema estaria resolvido se soubéssemos o valor de “t”, isto é, quanto tempo uma gota (no caso a primeira, G1) gasta para atingir o solo.  Isto significa que precisamos calcular esse tempo primeiro.

Para isso, podemos utilizar a Função Horária dos Espaços (para o MUV), que fornece a posição do móvel em função do tempo.   A expressão básica para essa função é:

S(t) = S0 + V0t + at2/2

Analogamente, podemos fazer a análise comparativa com o movimento de Queda Livre, para encontrarmos a expressão:

H(t) = H0 + gt2/2

Note que H(t) representa a distância percorrida (no caso, altura) em função do tempo “t”.   O valor da gravidade “g”, deverá ser negativo, por ter sinal contrário ao da trajetória (positiva, de baixo para cima).

Então:

H(t) = H0 + gt2/2

0 = 1,0 + (-10)t2/2

1,0 = 5t2

t2 = 1/5

t = √5/5

ou, aproximadamente,

t = 0,45 seg

Uma vez determinado o tempo que uma gota leva para cair 1,0 metro, podemos determinar com que velocidade ela atinge o solo usando a Função Horária da Velocidade:

V(t) = gt

V = (-10) x √5/5

V = -2√5 m/s

ou, aproximadamente,

V = – 4,5 m/s

Observe que o sinal da velocidade é negativo.   Ele (o sinal negativo) apenas indica que o sentido do movimento é contrário ao sentido da trajetória estabelecida (positiva, de baixo para cima).

Agora, para determinarmos o intervalo de de tempo (Δt) que separa a batida de duas gotas no solo, basta um pouco mais de atenção à situação.

Observe:

A situação-problema pode ser descrita através da seguinte seqüência:

···Δt → G1 → Δt → G2 → Δt → G3 →Δt···

1. cai a primeira gota (G1)

···Δt → G1

2. após um intervalo de tempo (Δt) cai a segunda gota (G2)

···Δt → G1 → Δt → G2

3. após um intervalo de tempo (Δt) cai a terceira gota (G3)

··Δt → G1 → Δt → G2 → Δt → G3

Considerando o modelo da situação-problema, vamos supor que não haja nenhum tipo de atrito ou fator que possa modificar o tempo com que cada gota cai, ou seja, as 3 gotas gastam o mesmo tempo para atingir o solo e o intervalo de tempo (Δt) entre a primeira gota (G1) e a segunda (G2) e a segunda (G2) e a terceira (G3) são iguais.

Na verdade, quando a terceira gota (G3) atinge o solo o tempo alcança a marca dos 3 minutos porque a razão dada no enunciado do problema é exatamente esta: 3 gotas/min.

Isto significa que após a terceira gota (G3) ter atingir o solo e decorrer o mesmo intervalo de tempo (Δt) entre as gotas, o “pinga-pinga” recomeça.

Concorda?

Então, através de uma igualdade simples podemos determinar o intervalo de tempo que separa as batidas de duas gotas  consecutivas no solo.

Veja:

Se somarmos todos os tempos (que as gotas gastam para atingir o solo mais o intervalo entre elas) teremos um total de 3 minutos.

Observe novamente a seqüência descrita acima com os respectivos tempos inseridos no contexto:

  1. cai a primeira gota (G1) tempo de queda: t = 0,45s
  2. após um intervalo de tempo (Δt) cai a segunda gota (G2) tempo de queda: t = 0,45s
  3. após um intervalo de tempo (Δt) cai a terceira gota (G3) tempo de queda: t = 0,45s

Assim, podemos escrever a seguinte igualdade:

tempo de queda gasto pela G1 + tempo entre G1 e G2 + tempo de queda gasto pela G2 + tempo entre G2 e G3 + tempo de queda gasto pela G3 = 3 minutos

0,45 + Δt + 0,45 + Δt + 0,45 = 3 minutos

3 x 0,45 +2Δt = 3 x 60 = 180 segundos

2Δt = 180 – 1,35

2Δt = 178,65

Δt = 178,65/2

Δt = 89,325 segundos

ou, aproximadamente,

Δt = 1,49 minutos

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Para Saber Mais:

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