José Wesley e a escala de trabalho

O José Wesley enviou sua dúvida por e-mail.

“Olá Professor.

Queria entender o raciocínio para o tipo de questão seguinte:

Um determinado soldado trabalha em escala 12/24 e  outro soldado trabalha em escala 9/18. Após quantas horas os dois irão se encontrar novamente?

Grato.”

Realmente, a dúvida do José Wesley é pertinente e relevante porque todos os problemas que envolvem o raciocínio de MDC e/ou MMC sempre têm uma dose extra de subjetividade, isto é, depende muito da interpretação de quem lê.

Vamos lá.

Para determinar em quantas horas os dois soldados irão se encontrar novamente, precisamos pensar nas informações dadas relativas às suas respectivas escalas de trabalho:

soldado A -trabalha 12 horas – folga 24 horas

e

soldado B – trabalha 9 horas – folga 18 horas

Esse tipo de problema envolve uma comparação implícita, de forma que se faz necessário uma referência (inicial) para que a comparação (entre os dois objetos envolvidos) faça sentido.

Observe que se eles irão se encontrar novamente, é porque eles já estiveram juntos, concorda?

Isto significa que podemos supor (nesse problema) que ambos os soldados iniciaram suas jornadas de trabalho juntos.

E aqui reside o ponto crucial do entendimento e da interpretação do problema.    Por quê?

Porque se eles irão se encontrar após uma quantidade de horas específica (e igual para ambos), a soma das horas de trabalho com as horas de folga deverão totalizar o mesmo tempo (decorrido) para ambos.

Como assim?

É simples, veja:

Os soldados começam a trabalhar juntos, folgam separados, voltam a trabalhar separados, folgam separados, voltam a trabalhar separados, e esse processo se repete até que eles se encontrem, certo?

Isto significa que o total de tempo (em horas) decorrido corresponde à soma das horas trabalhadas com as horas de folga. E, como disse acima, o total de horas deverá ser igual para ambos os soldados.

Dessa forma podemos escrever duas equações para os dois soldados, observe:

soldado A: nº horas trabalhadas + nº horas de folga = tempo total (em horas)

e

soldado B: nº horas trabalhadas + nº horas de folga = tempo total (em horas)

Substituindo as informações dadas no enunciado e chamando o tempo total de “h“, temos:

soldado A:  12n+24n=h

e

soldado B:  9m+18m=h

Arrumando ambas as equações, obtemos:

36n=h

e

27m=h

As duas equações indicam que o valor “h” (tempo total) é divisível por 36 e por 27 simultaneamente, ou seja, h é o menor múltiplo de 36 e de 27.   Então:

MMC(27, 36)=h

Para determinar “h“, basta fatorarmos os números 27 e 36:

27=3^{3}

e

36=4 \cdot 9=2^{2} \cdot 3^{2}

Então,

MMC(27, 36)=2^{2} \cdot 3^{3}=4 \cdot 27=108

Portanto os soldados irão se encontrar após 108 horas de trabalho.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Para Saber Mais:

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