Tattyana e a adição de radicais

A Tattyana enviou sua dúvida por e-mail.   Vamos lá:

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“Será que posso te perguntar aqui? rs
Te achei pelo site!
Vamos a pergunta..
 
Como se resolve a soma de dois números diferentes tendo como expoentes frações de denominadores diferentes?
Tipo esse:
 
2^(1/3) + 5^(3/5)
 
A mesma pergunta se for subtração.
Sei fazer essas contas na calculadora, o problema é quanto a fazer na mão… por isso queria ajuda.
Obrigada!”

 

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Oi Tattyana, tudo bem?

A sua dúvida consiste simplesmente em lembrar das propriedades das potências e dos radicais.

A regra geral para adição (e subtração) de radicais é que eles possuam o mesmo índice e o mesmo radicando.

Além disso, você deve lembrar que toda potência que tenha expoente fracionário é, na verdade, um radical.

A propriedade que deve ser lembrada nesses casos é a seguinte:

a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}

 Dessa forma, podemos pensar na expressão dada

2^{\frac{1}{3}}+5^{\frac{3}{5}}

Reescrita segundo a propriedade acima:

\sqrt[3]{2^{1}}+\sqrt[5]{5^{3}}

Para continuar com esse cálculo, precisamos “comparar” ambos os radicais de forma que possamos efetuar essa adição que, do jeito que está, não é possível.

Porém, da mesma maneira que usamos o MMC para reduzir denominadores distintos (e não-nulos) de frações distintas para efetuarmos cálculos de adição (e subtração), usamos uma propriedade dos radicais que lembra muito essa técnica.   Observe:

\sqrt[n]{a^{m}}=\sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}}

Esta propriedade nos garante que um número p pode ser multiplicado (ou dividido) simultaneamente no índice e no expoente do radicando sem que o radical original tenha o seu valor alterado.

Isto equivale a encontrar dois números distintos p e q tais que quando multiplicados pelos respectivos índices dos radicais, tenham o mesmo produto, isto é:

3p = 5q = k

Nesse caso, o número k é divisível simultaneamente por 3 e 5, ou seja:

k = MMC(3, 5) = 15 

Agora ficou fácil, porque conseguimos, com esse raciocínio, determinar os valores para p e q:

p = 5 e q = 3

Então, podemos dar prosseguimento ao cálculo:

\sqrt[3]{2^{1}}+\sqrt[5]{5^{3}}=\sqrt[3 \cdot 5]{2^{1 \cdot 5}}+\sqrt[5 \cdot 3]{5^{3 \cdot 3}} =\sqrt[15]{2^{5}} + \sqrt[15]{5^{9}}

Observe que o resultado encontrado não pode ser escrito como um único radical.   Isto porque, embora o índice das raízes seja o mesmo, os seus radicandos não são.

Além disso, os radicandos já estão fatorados e seus expoentes são menores do que o índice das raízes, isto é, não é possível retirar nenhum fator de dentro dos radicais.

Portanto,

2^{\frac{1}{3}}+5^{\frac{3}{5}} = \sqrt[15]{2^{5}} + \sqrt[15]{5^{9}}

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

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O lucro bruto da Cláudia

Oi Cláudia, tudo bem?

Bem, a sua dúvida é decorrente de um detalhe.   Qual?   Observe:

No enunciado do problema, é dito que “o lucro bruto (diferença entre os preços de venda e compra) na venda de um determinado produto deverá ser igual a 40% do seu preço de venda”.

E o que aconteceu foi que você calculou o lucro bruto sobre o preço de compra (= preço de custo)!!!

Por isso você encontrou o resultado igual a R$ 1050,00…

Então vamos lá:

Para facilitar, vou usar as seguintes notações:

  • Lucro Bruto = LB
  • Preço de Venda = PV
  • Preço de Compra = PC

Dessa forma, e seguindo exatamente o enunciado da questão, podemos escrever a seguinte igualdade:

LB = PV – PC  e LB = 40% de PV

logo

PV – PC = 40% de PV

Isto implica que:

PV – 40%PV = PC (x100)

100PV – 40PV = 100PC

60PV = 100PC

Como PC = R$ 750,00, substituimos na igualdade anterior:

60PV = 100 x 750

PV = 75000/60

PV = 1250

Portanto, o preço de venda deverá ser de R$ 1250,00 para que se obtenha um lucro bruto de 40% sobre o preço de venda.

Entendeu?

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

Pedido de Desculpas

Novamente, após um longo período sem me comunicar por aqui, apareço só pra pedir desculpas…

Mas infelizmente estou enrolado com questões de ordem profissional e familiar.   Além disso, estou com um problema sério de conexão com a velox.

Então, fica aqui meu pedido de desculpas (de novo!) para aqueles que passaram por aqui e ficaram aguardando alguma resposta minha.

E, tão logo seja possível, volto a comentar as soluções das dúvidas que me enviam.

Um forte abraço pra todos.

Fellipe e a dilatação térmica.

Oi Fellipe, tudo bem?

Se bem entendi, a sua dúvida é teórica, certo?

Para que você entenda o conceito da Dilatação Térmica (como qualquer outro), é necessário que você tenha em mente que os conceitos físicos são descritos (e não explicados) e a matemática envolvida no processo serve – em geral – para ratificar o entendimento dos conceitos aprendidos/fixados com relação às soluções encontradas.

Isto é necessário, mas não é suficiente.

Porque isso não elimina o fato de precisarmos ter cuidado com os cálculos que fizermos e, principalmente, com as respostas que encontrarmos.   É preciso analisá-las para nos certificarmos que aquele resultado traduz – de fato – a solução matemática para um determinado problema físico.

Especificamente para o caso da Dilatação Térmica:

Todo corpo sobre a face da terra é composto de moléculas.   E você deve saber (ou pelo menos ouviu falar em aula) que, dependendo do nível de agitação molecular (que se altera de acordo com a quantidade de calor que recebem ou perdem), podemos classificar o corpo em um dos três estados físicos da matéria (sólido, líquido e gasoso), certo?

Pois muito que bem.   Acontece que esse mesmo corpo sobre a face da terra está o tempo todo exposto a variações de temperaturas (como nós).   E isso acontece diariamente (você pode confirmar isso assistindo a qualquer telejornal ou mesmo lendo um jornal, na seção de “Previsão do Tempo”).

A variação de temperatura nada mais é do que a diferença entre a temperatura máxima e a temperatura mínima.

(Lembre que o termo “variação” em física significa a diferença entre os valores final e inicial).

No caso da “Previsão do Tempo”, essa variação é interpretada como a diferença entre “a temperatura máxima provável” e “a temperatura mínima provável“.

Dessa forma, cada vez que um corpo recebe calor (energia) ele aumenta a sua temperatura e, conseqüentemente, as moléculas que o compõe ficam mais agitadas, aumentando o espaço entre elas.   Isso faz com que o “tamanho” daquele corpo aumente.

Esse fenômeno é descrito como Dilatação Térmica.

De forma contrária, cada vez que um corpo perde calor (energia) ele diminui a sua temperatura e, consequentemente, as moléculas que o compõe ficam menos agitadas, diminuindo o espaço entre elas.   Isso faz com que o “tamanho” daquele corpo diminua.

Esse fenômeno é descrito como Contração Térmica.

Agora, como todo corpo é composto de moléculas, temos materiais diversos na natureza (além daqueles transformados pelo homem) que variam de maneira diferente o seu “tamanho” em função da quantidade de calor que recebem (ou perdem).

No inverno, por exemplo, é comum ouvirmos “estalos” nas janelas e/ou portas de madeira quando esses materiais ficam expostos a uma variação de temperatura razoável porque, durante o dia, recebem calor, à noite, perdem calor.   E isso faz com que o material aumente e diminua significativamente suas dimensões durante um período de tempo prolongado a ponto de ouvirmos os tais “estalos“.

E é aí que entra o entendimento do Coeficiente de Dilação Térmica.

O Coeficiente de Dilatação Térmica é um número que nos indica o quanto (em unidades de medida, em geral, metros) um tipo específico de matéria varia suas dimensões a cada grau de temperatura recebido (ou perdido).   Esses valores são, em geral, tabelados.

Por exemplo, o coeficiente de dilatação térmica (linear) do alumínio – por exemplo – vale 2,4 x 10-5-1.

Isto quer dizer o seguinte: 

2,4 x 10-5 = 2,4/105 = 0,000024

Para cada grau Celsius recebido (ou perdido) o alumínio sofre uma variação linear de 0,000024 metros.

Veja, por exemplo, a dúvida do André, no post “André e a dilatação térmica“.

Porém, os formatos dos corpos que são compostos por diferentes materiais também são diferentes.   O que acontece na prática é que uma (ou duas) das três dimensões terá uma variação mais expressiva (maior ou menor) em relação às outras (duas ou três).

Por exemplo, um trilho de trem dilata (ou contrai) mais no sentido do seu comprimento do que propriamente na sua área externa ou no seu volume.   Mas isso não significa que o trilho – como objeto tridimensional – não sofra variação nas suas três dimensões ao ficar exposto a uma variação de temperatura durante um período de tempo.

Por causa disso, é comum, para efeito de estudo, aproximarmos os objetos na dimensão mais conveniente.   Geometricamente falando:

  • Fios de metal, trilhos, tubos de metal (1D)
  • Placas e superfícies de metal (2D)
  • Recipientes de metal – de forma geral, objetos que traduzam “quantidade” –  sólidos ou não (3D)

E aqui você poderia perguntar: “Por que só exemplo de coisas de metal?”

Simples.   Porque os metais são bons condutores de energia, ao contrário dos isolantes (térmicos).

Essa classificação geométrica é que nos fornece a classificação atual no estudo da Dilatação Térmica dos Sólidos.

  •  Linear: significa apenas em uma das três dimensões (comprimento ou largura ou altura) sofrerá variação no tamanho da dimensão específica.

 

  • Superficial: significa que apenas duas das três dimensões (comprimento e largura ou comprimento e altura ou largura e altura) sofrerão variação em seus tamanhos, variando, portanto, sua área.

 

  • Volumétrica: significa que as três dimensões (comprimento e largura e altura) sofrerão variação em seus tamanhos, variando, portanto, o volume.

E, até aqui, temos a descrição do fenômeno.

Agora, entender matematicamente tudo isso significa entender a seguinte igualdade:

  •  variação nas medidas = medida inicial x coeficiente de dilatação térmica x variação de temperatura

Por quê?

Porque – na verdade – a expressão matemática da “fórmula” é análoga para os três casos que, como disse antes, são separados para facilitar o estudo.

Por isso as fórmulas para a dilatação térmica dos sólidos são:

  1. ΔL = Lo x α x ΔT     (Linear)
  2. ΔS = So x β x ΔT     (Superficial)
  3. ΔV = Vo x γ x ΔT     (Volumétrica)

Por fim, devido a essa classificação geométrica, foi possível estabelecer uma relação entre os coeficientes de dilatação térmica:

 β = 2α

e

γ = 3α

Mas não esqueça: na realidade, nós estudamos “modelos“, na realidade todo e qualquer objeto sofre o fenômeno da dilatação (ou contração) térmica de forma volumétrica.

Espero que tenha ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

Margareth e as questões da prova dos correios.

Oi Margareth, tudo bem?

Seguinte: como você postou – de cara – 4 questões (e todas as quatro envolvendo regra de três simples), vou escrever as respectivas soluções exatamente na mesma ordem e com a mesma numeração, ok?

Primeiro, você deve lembrar que a tal “Regra de Três Simples”, na verdade, pode (e deve) ser entendida como uma proporção, isto é, uma relação que envolve – em geral – duas grandezas e 4 valores.

Essa proporção será sempre uma igualdade de duas razões (= frações), assim:

a/b = c/d 

A leitura da igualdade acima é: a está para b assim com c está para d“.

Da igualdade acima, vale outra igualdade, conhecida como “produto dos meios pelos extremos” ou, se preferir, a famosa “multiplicação em xis“, isto é:

a.d = c.b 

Outra: as duas frações envolvidas são chamadas também de Frações Equivalentes porque o resultado será sempre o mesmo, por exemplo:

4/2 = 8/4 = 20/10 = 24/12 = 100/50

(notou que todas as frações dão resultado igual a 2?)

E isto é o mínimo para que você não se perca nesse tipo de problema.

Então vamos lá.

36) Para resolver esse problema, basta que você “arme” a proporção corretamente, observe:

(x + 4)/(x + 6) = 5/8

(x + 4).8 = 5.(x + 6)

8x + 32 = 5x + 30

8x – 5x  = 30 – 32

3x = -2

x = -2/3

 38 ) Esse problema segue o mesmo  raciocínio, veja só:

3/460 = 3,6/x

3x = 3,6.460

3x = 1656

x = 1656/3

x = 552 cm³

39) Nesse aqui, existe o detalhe do “desconto” no pagamento à vista.   Então, a diferença entre o valor a prazo e o valor à vista corresponde ao desconto dado, certo?   Logo,

1280 – 960 = 320

Agora, basta aplicarmos o mesmo raciocínio para determinarmos qual o percentual que 320 corresponde de 1280.   Veja:

1280/320 = 100%/x%

1280x = 32000

x = 32000/1280

x = 25%

40) Nessa questão, basta você lembrar da expressão para juros simples, que é

j = c.i.t

onde j = juros, c = capital, i = taxa (na forma decimal) e t = tempo

Assim, substiuindo os valores dados no enunciado da questão:

34,72 = 620.0.008.t

34,72 = 4,96t

t = 34,72/4,96

t = 7 meses

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

O fio de alumínio da Maria

Oi Maria, tudo bem?

A dúvida que você enviou por e-mail foi essa:

“Boa Tarde, Prof. Marcos.
 Gostaria de obter sua ajuda, no cálculo abaixo. Se não for incomodar-lhe.
 O comprimento de um fio de alumínio é de 25M a uma temperatura de 20º C.  Calcule a sua dilatação linear quando aquecemos o fio até 60ºC.  O coeficiente de dilatação linear do alumínio é 24 X 10 -6 ºC.
Obrigada pela atenção.”

Maria, esse problema é simples porque trata de uma aplicação direta da fórmula de dilatação linear (dos sólidos), que é a seguinte: 

ΔL = Lo x α x ΔT 

Então, retiramos do enunciado do problema as informações necessárias:

 Lo = 25 metros (comprimento inicial do fio)

To = 20°C (temperatura inicial do fio)

T = 60°C (temperatura final do fio)

αalumínio = 24 x 10-6 °C-1  (coeficiente de dilatação linear do fio)

ΔL = ? (ΔL = L – L= variação do comprimento do fio – é o que desejamos calcular, certo?)

Observe que, dos dados acima, já podemos calcular a variação de temperatura (ΔT) ocorrida: 

ΔT = T – To

ΔT = 60 – 20

ΔT = 40°C 

Agora, é só substituir na fórmula da dilatação linear os dados que temos, veja só: 

ΔL = Lo x α x ΔT

ΔL = 25 x 24 x 10-6 x 40

ΔL = 600 x 10-6 x 40

ΔL = 24000 x 10-6

ΔL = 24 x 103 x 10-6

ΔL = 24 x 10-3

ou

ΔL = 0,024 

Assim, a dilatação ocorrida no fio de alumínio, quando ele sofre um aumento de temperatura de 20°C até 60°C é de 0,024 metros.

Entendeu?

Obs.: Sugiro que você – se estiver com tempo – leia também a solução da dúvida do André, que trata do mesmo assunto.  (Para ler, clique aqui).

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

A viagem da Caroline

Oi Caroline, tudo bem?

Esse problema que você tem dúvida se torna simples quando interpretado corretamente do “português” para o “matematiquês“.

“Mas o problema não é de Física?” – você poderia perguntar.   Sim, é.   Mas o conceito físico envolvido no problema (velocidade média no movimento uniforme) é simples.

Para que você compreenda melhor, vou chamar de “v” a velocidade média e de “t“, o tempo gasto no percurso.

Além disso, você não pode esquecer que a definição de velocidade média é o quociente entre a variação das posições (de um móvel) pela variação de tempo (gasto no percurso), isto é: 

v = ΔS/Δt 

Então vamos lá. 

Um automóvel viajando em determinada velocidade média completou um percurso de 360km em t horas. 

Então,

v = 360/t     (eq. 1)

 Caso essa velocidade fosse aumentada em 30km/h a viagem teria durado uma hora a menos. 

Então, 

v + 30 = 360/(t-1)     (eq. 2)

 Observe que as duas equações acima formam um sistema do 1° grau de duas variáveis (no caso, incógnitas – v e t) e, para resolvê-lo, basta substituir a 1ª equação na 2ª. 

Assim: 

360/t + 30 = 360/(t-1)

(360 + 30t)/t = 360/(t-1)

(360 + 30t)(t-1) = 360t

360t – 360 + 30t² – 30t = 360t

30t² – 30t – 360 = 0

(÷30)

t² – t – 12 = 0 

E a equação quadrática encontrada possui raízes iguais a -3 e 4 (verifique!) sendo que, o valor negativo não traduz significado físico para o problema (em outras palavras: não “existe” tempo negativo).

Portanto, o valor procurado é t = 4h, ou seja, a viagem durou 4 horas. 

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais: