Raphael e os números menores que 30.000

Olá Raphael, tudo bem?

A dúvida que você postou é simples e faz parte do conteúdo Princípio Fundamental da Contagem (PFC).

Vamos lá.

Primeiro, observe que os números que são (estritamente) menores que 30.000 começam com os algarismos 1 ou 2, certo?

Além disso, queremos que esses números tenham (exatamente) 5 algarismos distintos (diferentes) entre si, ou seja, sem repetição dos algarismos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, dado no enunciado da questão.

E como fazer isso?

Simples.

Vamos separar e estudar os dois casos possíveis e analisar o resultado.

1. Números de 5 algarismos distintos que começam com o algarismo 2:

2 ? ? ? ?

Observe que onde aparecem os sinais de interrogação, estão as casas onde o subconjunto de algarismos {1, 3, 4, 5, 6} poderão aparecer em qualquer ordem, com exceção do algarismo 2, que está fixo, uma vez que estamos analisando os números (com algarismos distintos) maiores que 20.000 e menores que 30.000.

Então, pelo PFC, podemos pensar nas “escolhas” dos números para as 4 casas decimais após o algarismo 2, assim:

• para a 1ª casa (após o algarismo 2) podemos escolher um dos cinco algarismos do subconjunto {1, 3, 4, 5, 6};
• para a 2ª casa (após a casa do algarismo escolhido anteriormente) podemos escolher um dos quatro algarismos restantes (note que não escreverei mais os algarismos porque o raciocínio independe do algarismo escolhido e porque queremos que nenhum algarismo se repita).

O processo é recursivo, isto é, repetimos até o final.

Dessa forma, podemos escrever o produto das possibilidades das escolhas por casa decimal:

2 ? ? ? ?

2 5 x   4 x    3 x    2

Fazendo as contas, temos que o resultado do produto acima (5 x 4 x 3 x 2) é igual a 120, certo?

2. Números de 5 algarismos distintos que começam com o algarismo 1:

Note que todo o raciocínio é análogo:

1 ? ? ? ?

1 5 x 4 x 3 x 2

E obtemos o mesmo resultado: 120 números.

O resultado final será a soma dos resultados encontrados:

120 + 120 = 240

Portanto, 240 números de 5 algarismos distintos e menores que 30.000.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Para Saber Mais:

• Marco Castro
• Wikipédia
• Numa Boa
• Professor Paulo Cezar Pinto Carvalho (IME)