Ana e a conversão de distâncias na fórmula do campo elétrico

Oi Ana, tudo bem?

Vixe!

Essa foi muito difícil de responder e, devo confessar, precisei de auxílio, já que a qualidade da sua dúvida excedeu os meus limitados conhecimentos.

Na verdade, quem responde sua dúvida  é o companheiro e novo amigo , Américo Tavares, Engenheiro Eletrotécnico lá de Portugal, que não mediu esforços em nos auxiliar com muita gentileza e presteza.

Você poderá conferir muito mais conteúdos interessantes se visitar o seu blogue: Problemas/Teoremas.

Então, vou transcrevê-la na íntegra, já que não vejo necessidade de resumi-la, devido à objetividade e dissertação sucinta feita pelo Américo.

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Olá Marco,

Vi agora seu comentário.

Digitalizei a página 608 (tabladeconversion, no fim, em formato pdf), do livro ELECTRODINAMICA CLASICA, de John David Jackson, Editorial Alhambra, S. A., em espanhol, traduzido do inglês, Edição de 1966.
Esta página é ocupada com uma tabela de conversão de unidades nos então chamados sistemas M. K. S. racionalizado (metro, kilograma, segundo) e o Gaussiano ou de Gauss (centímetro, grama, segundo).

Para o Campo Eléctrico é

Símbolo: E
M. K. S. racionalizado 1 V / m
Gaussiano 1/3\times 10^{-4} stat V / cm

isto é,

1 V / m =1/3\times 10^{-4} statV / cm.
O importante é que, no fundo, o V (volt) e o statV (statvolt) não são a mesma coisa.

1\;Vm^{-1}=1/3\times 10^{-4}\;statVcm^{-1}.
Nota: as unidades físicas não deviam estar em itálico.

Como é dito no texto da tabela este factor 3 está associado à velocidade da luz [no vácuo], e seria em rigor 2,997930 \pm 0,000003, mas tal só se usa em casos em que é necessária uma precisão dessa ordem. Nos normais, será 3. Neste caso o factor resulta no inverso de 3.

Para compreender completamente esta explicação o livro dedica todo um apêndice sobre unidades e dimensões, de 11 páginas, em que trata (traduzindo) de

1. Unidades e dimensões; Unidades fundamentais e Unidades derivadas
2. Unidades e equações electromagnéticas
3. Distintos Sistemas de Unidades Electromagnéticas
4. Conversão de Equações e Grandezas (Quantidades, Magnitudes) entre Unidades Gaussianas e M. K. S.

É que as equacões de Maxwell escrevem-se com factores diferentes nos vários sistemas de unidades.

Exemplo:

\nabla \cdot \vec{E}=4\pi k_{1}\rho ,

em que k_1 é igual a k_1=\dfrac{1}{4\pi\epsilon _{0}}=10^{-7}c^{2}, com c=2,99792458\times 10^{8}\; m / s (velocidade da luz no vazio / vácuo) no sistema M. K. S. racionalizado e a k_1=1 no sistema Gaussiano.

O 4\pi pode ou não aparecer, conforme o sistema, e a convenção. O que é preciso é que as 4 equações de Maxwell sejam coerentes entre si e se escrevam todas no mesmo sistema de unidades.

Se precisar de mais informações, faça favor. Neste caso tive sorte porque a minha engenharia é electrotécnica!

tabladeconversion
Por lapso, digitalizei duas vezes a mesma página.

[editado hoje, 22-4-2008, 9:36, para melhorar a apresentação e outros pequenos acrescentos]

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Clicando nas imagens abaixo, você poderá ver o arquivo tabladeconversion (ou clicando diretamente no link acima) 

Se preferir, você poderá ver o original, clicando aqui.

Espero que ajude.

Bons Estudos e sucesso no trabalho.

 

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Diego e as gotas d’água

Oi Diego, tudo bem?

Para resolver esse problema, você deve lembrar da conversão entre as unidades de medidas, isto é, os múltiplos e submúltiplos – nesse caso – do metro.

Note que as unidades serão sempre as mesmas, porém os expoentes indicam a dimensão da grandeza.

Como assim?

Simples: se a unidade de medida (metro) tiver expoente 1 (e, claro, ele não vai aparecer…) é porque medimos de forma linear — apenas uma das 3 grandezas (comprimento ou largura ou altura); se tiver expoente 2, é porque medimos agora de forma superficial – quer dizer, as áreas – duas das 3 grandezas (comprimento e largura ou comprimento e altura ou largura e altura); por último, se o expoente for 3, é porque medimos o volume, quer dizer, as 3 grandezas simultaneamente (comprimento e largura e altura).

Em outras palavras, o número do expoente nos indica a dimensão em que a grandeza está: 

  • Dimensão 1 = grandeza linear (unidade de medida elevada a 1)
  • Dimensão 2 = grandeza superficial (unidade de medida elevada a 2)
  • Dimensão 3 = grandeza volumétrica (unidade de medida elevada a 3)

Dito isto, observe bem as 3 tabelas dos múltiplos e submúltiplos do metro: 

Km

hm

dam

m

dm

cm

mm

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

 

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

10-6

10-4

10-2

100

102

104

106

 

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

10-9

10-6

10-3

100

103

106

109

É comum os alunos me perguntarem se é preciso tudo isso.   Acredito que você também (se já não o souber) deva achar a mesma coisa.

Mas isso é necessário para entendermos “como” começar a resolver o problema que, na verdade, é simples.

Observe:

Do enunciado do problema, retiramos as informações necessárias.   Então, sabemos que 20 gotas de água correspondem a um volume de 1 cm3, certo?

Ora, para saber a ordem de grandeza do número de gotas que cabem numa garrafa de 2,5 litros, precisamos – apenas – converter a unidade litro em unidade de centímetros cúbicos (cm3).

E isto se torna fácil porque é dado no enunciado a relação entre as unidades do litro (l) e decímetros cúbicos (dm3).

E é aqui que aquelas tabelas (ali em cima) dos múltiplos e submúltiplos do metro – mais precisamente a terceira – são necessárias: para você converter entre as unidades de um mesmo sistema de medidas.

Por quê?

Porque, apesar do litro (l) e do decímetro cúbico (dm3) serem unidades de volume, pertencem a sistemas de medidas distintos.

Então vamos lá:

Se

1 l = 1 dm3

Então 

2,5 l = 2,5 dm3 

E, pela tabela dos múltiplos e submúltiplos do metro, 

1 dm3 = 103 cm3  = 1000 cm3

Portanto, 

2,5 l = 2,5 x 103 cm3 = 2500 cm3 

Usarei a regra de três simples para calcular a proporção de gotas em 2,5 l de água.

Quer dizer, se o volume de 1 cm3 corresponde a 20 gotas de água, então o volume de 2500 cm3 corresponderão a “y” gotas, certo?

Matematicamente: 

1/20 = 2500/y

y = 20 x 2500

y = 50000

y = 5 x 104 

Isto significa que, em 2,5 l de água, encontramos 50.000 gotas.   Esse valor, escrito como produto de uma potência de base 10 (notação científica) equivale a 5 x 104.

Agora, para entendermos a ordem de grandeza também é simples.

Depois de escrever o número em notação científica (N x 10e) verificamos se o valor do número (N) que multiplica a potência de base 10 é maior – ou menor – do que 3,16.

Porque:

  • Se N > 3,16 → a ordem de grandeza será 10 (e + 1)
  • Se N < 3,16 → a ordem de grandeza será 10e 

Portanto, nesse caso, a ordem de grandeza será 105.

Espero ter ajudado.

Para Saber Mais:

André e a Dilatação Térmica

Oi André, tudo bem?

O primeiro problema que você postou é de dilatação linear, como aparece no próprio enunciado.

Para resolver um problema desse tipo, usamos a expressão própria para a Dilatação Linear:

∆L = L0.α. ∆T

Onde:

  • ∆L = L – L0: é a variação entre as medidas final e inicial (ou propriamente o valor da dilatação – ou contração – ocorrida)
  • α: é o coeficiente de dilatação linear (valor de referência que indica o quanto uma substância varia – em unidade de medida – a cada grau de temperatura).
  • ∆T = T – T0: é a variação entre as temperaturas final e inicial da substância

(Aliás, esse raciocínio é análogo para as dilatações superficial e volumétrica dos sólidos).

Dito isto, retiremos do enunciado do problema as informações dadas para a resolução: 

Medida inicial: L0 = 10m

Dilação ocorrida: ∆L = 7mm

Note que não podemos ter unidades de medidas diferentes, então é preciso transformar uma das duas unidades – metro ou milímetro – para que possamos prosseguir com os cálculos.  O que não é difícil.   Por quê?metros

Ora,

1 milímetro equivale a 0,001 = 1/1000 = 1/103 = 10-3 metros.

Então,

7 milímetros equivalem 7 vezes mais, isto é, 7 x 10-3 metros. 

E por fim,

Variação de temperatura: ∆T = 70 – 20 = 50°C

Coeficiente de dilatação linear: α = ? (é o que desejamos calcular, certo?

Bom, agora temos todas as informações necessárias para substituirmos na fórmula da dilatação linear: 

∆L = L0.α. ∆T

7 x 10-3 = 10 x α x 50

7 x 10-3 = 500 x α

α = 7 x 10-3 / 500

α = 7 x 10-3 / 5 x 102

α = 7 x 10-3 / 5 x 102

α = (7/5) x 10-3-2

α = (7/5) x 10-5

α = 1,4 x 10-5 

Agora, basta olhar na tabela dos coeficientes de dilatação linear (as potências de 10 podem variar entre tabelas de diferentes autores.   Por exemplo, nesse caso, devemos observar que α = 1,4 x 10-5 = 140 x 10-6 = 0,14 x 10-4, entendeu?

Particularmente, você cita no enunciado a Tabela 1.2 como referência para esse exercício.   E como você não colocou a tabela, usarei essa: 

E, pela tabela acima, o material que possui coeficiente de dilatação térmica equivalente a α = 1,4 x 10-5 é o ouro.

Para o segundo problema, a fórmula (que você diz ter dúvidas) é a que relaciona as duas unidades de temperatura em questão: Celsius e Fahrenheit, 

TC/5 = (TF – 32)/9 

A condição dada no enunciado é que a temperatura medida na escala Fahrenheit é o dobro da temperatura medida na escala Celsius, ou seja:

TF = 2TC 

E como é pedido o resultado da temperatura na escala Fahrenheit, substituímos a segunda relação na primeira, da seguinte maneira: 

TF = 2TC

TF/2 = TC 

Logo, 

TC/5 = (TF – 32)/9

(TF/2)/5 = (TF – 32)/9

TF/10 = (TF – 32)/9

9TF = 10(TF – 32)

9TF = 10TF – 320

320 = 10TF – 9TF

TF = 320 

Então, a temperatura na escala Fahrenheit vale 320F e portanto, na escala Celsius vale 160°C.

Espero ter ajudado.

Para Saber Mais:

A equação quadrática da Maria Inês

Oi Maria Inês, tudo bem?

Essa equação quadrática que você não consegue resolver é, na verdade, de resolução simples quando você lembra de avaliar o discrimante (o “delta” – Δ).

Isto porque quando você usa a fórmula de Bhaskara para calcular as possíveis raízes de uma equação quadrática, em geral, você deve calcular o valor do discriminante antes, podendo avaliar se a equação dada possui – ou não – raízes reais.

Vamos lembrar um pouquinho:

as raízes x′ e x″ da equação quadrática ax² + bx + c = 0 podem ser determinadas através da

Fórmula de Bhaskara

x = (-b ± √Δ)/2a

onde o discriminante vale

Δ = b² – 4ac

Além disso, dependendo do sinal do Δ, podemos saber se a equação dada possui – ou não – raízes reais e se são distintas (diferentes) ou não.

Observe:

Δ > 0 → existem 2 raízes reais e distintas (positivo)

Δ = 0 → existem 2 raízes reais e iguais (nulo)

Δ < 0 → NÃO existem raízes reais (negativo)

Dito isto, vamos aplicar na equação que você não conseguiu resolver:

9x² + 9x +12 = 0

a = 9, b = 9 e c = 12

Então, o discriminante (delta) será:

Δ = b² – 4ac

Δ = (9)² – 4.9.12

Δ = 81 – 432

Δ = – 351

Ou seja, esse é o caso em que Δ < 0 e portanto, não existem raízes reais para essa equação.   Por isso, não precisamos terminar o cálculo usando a Fórmula de Bhaskara.

Entendeu?

Em Tempo: quando o discriminante é negativo (Δ < 0 ) NÃO significa que as raízes não existam.   Elas existem sim, mas pertencem a um conjunto maior do que o conjunto dos números reais (que o contém, na verdade), chamado Conjunto dos Números Complexos.

Para Saber Mais:

 

O WordPress foi atualizado…

…e por conta disso algumas funcionalidades estão dando erro, como o editor de texto.

Eu não consigo atualizar nenhuma página corretamente sem que se desfaça a formatação anterior.

E quanto mais eu tento acertar o que aparece errado, mais erros acontecem.

Já faz 2 dias que tento colocar algum post ou atualizar a página de “Avaliações & Gabaritos” para os meus alunos mas sem sucesso.

E continuo a receber dúvidas via e-mail e/ou site, o que aumenta ainda mais a minha frustração, como se não bastassem as dificuldades rotineiras.

De qualquer modo, venho esclarecer porque alguns alunos me pediram para colocar as soluções dentro de um certo prazo e, por causa do que expliquei no post anterior e desse problema temporário, o atraso se prolongou.

Então, me desculpem.

Tão logo seja possível – e espero que logo mesmo – volto a atualizar os site com as devidas soluções comentadas.

E obrigado pela paciência.

Eu acho. 🙂

Marco Castro.

Munique e a calorimetria (IV)

Oi Munique, tudo bem?

Essa questão envolve duas substâncias com temperaturas (iniciais) distintas.

Quando temos esse tipo de situação, devemos lembrar dos 3 Princípios da Calorimetria:

Princípios da Calorimetria

  1. Princípios de transformações inversas: a quantidade de calor que um corpo recebe é igual, em módulo, à quantidade de calor que um corpo cede ao voltar, pelo mesmo processo, à situação inicial.
  2. Princípio do Equilíbrio Térmico: quando vários corpos inicialmente a temperaturas diferentes trocam calor entre si, e só entre si, observamos que alguns perdem enquanto outros recebem calor, de tal maneira que decorrido um certo tempo, todos estacionam numa mesma temperatura, chamada temperatura de equilíbrio térmico.
  3. Princípio da Igualdade das Trocas de Calor: quando n corpos trocam calor apenas entre si (isto é, estão isolados termicamente), a soma das quantidades de calor que alguns cedem é igual, em módulo, à soma das quantidades de calor que os restantes recebem.   Portanto, como não existem perdas, a soma de todas as quantidades de calor é nula (igual a zero):

Q1 + Q2 + … + Qn = 0

Dito isto, vamos adequar o problema.

As substâncias que serão colocadas juntas no vaso são a água e o alumínio logo, haverá duas quantidades de calor distintas para cada uma delas: 

Qagua = quantidade de calor da água

Qaluminio = quantidade de calor do alumínio

E pelo Princípio da Igualdade das Trocas de Calor, podemos escrever que:

Qagua + Qaluminio = 0

Agora, nesse problema, devemos calcular a temperatura final de equilíbrio (fenômeno descrito pelo Princípio do Equilíbrio Térmico – que você acabou de ler logo ali em cima).

Então, podemos retirar do enunciado as informações fornecidas para prosseguirmos com os cálculos:

Para a Água:

Massa: magua = 200g

Temperaturas: Ti = 20°C e TF = TE (temperatura de equilíbrio)

Calor Específico da Água: cagua = 1,0 cal/g.°C (veja na tabela)

Para o Alumínio:

Massa: maluminio = 100g

Temperaturas: Ti = 80°C e TF = TE (temperatura de equilíbrio)

Calor Específico do Alumínio: caluminio = 0,22 cal/g.°C (veja na tabela)

Assim, como Q = m.c.∆T, temos que: 

Qagua + Qaluminio = 0

magua x cagua x ∆Tagua + maluminio x caluminio x ∆Taluminio

200 x 1,0 x (TE – 20) + 100 x 0,22 x (TE – 80) = 0

200TE – 4000 + 22TE – 1760 = 0

222TE – 5760 = 0

222TE = 5760

TE = 5760/222

TE = 25,95°C

Ou seja, ao juntar água e alumínio nas condições do problema, após um intervalo de tempo, a temperatura final do sistema será de, aproximadamente, 26°C.

Para Saber Mais:

Munique e a calorimetria (III)

Oi Munique, tudo bem?

Essa questão é análoga à questão anterior e, portanto, as condições mínimas para ler, entender e resolver esse tipo de problema continuam valendo.

Depois de ler o enunciado, vamos retirar do texto as informações que são fornecidas:

Massa: m = 200g

Temperaturas: Ti = 10°C e TF = 40°C

Calor Específico do Alumínio: c = 0,22 cal/g.°C (veja na tabela)

Quantidade de calor: Q = ? (é o que desejamos calcular)

Agora é decidir qual das duas fórmulas usar: Calor Específico ou Calor Latente?

Ora, não há porque ter dúvidas se nas informações essa grandeza aparece: o Calor Específico, certo?

Logo, para resolver esse problema, usaremos a fórmula 

Q = m.c.∆T

Q = 200 x 0,22 x (40 – 10)

Q = 200 x 0,22 x 30

Q = 2 x 22 x 3

Q = 44 x 3

Q = 132

Ou seja, é preciso uma quantidade de calor igual a 132 calorias para elevar a temperatura de 200g de alumínio de 10°C para 40°C.

Para Saber Mais: