Oi Paulo, tudo bem?
A dúvida que você apresenta é simples de ser respondida se você tiver bem assimilado os conceitos financeiros básicos (como custo, venda, lucro, desconto, receita e despesa) e a teoria de função linear ou do 1º grau.
Vamos lá.
Primeiro, lembre que o conceito básico entre custo (C), venda (V) e lucro (L) é dado por
V = L + C
Assim, torna-se simples escrever as funções do exercício que você tem dúvida. Vamos lá.
Os dados fornecidos são:
Custo unitário de produção (Cup) – R$ 5,00
Custo fixo associado à produção (Cfp) – R$ 30,00
Preço de Venda (V) – R$ 6,50
Note que com essas informações já podemos determinar o lucro (L) na venda de uma unidade do produto:
V = L + C
6,50 = L + 5,00
L = 6,50 – 5,00
L = 1,50
De forma análoga escrevemos as funções pedidas, veja:
a) a função custo total
O custo total é a soma de todos os custos. Nesse caso temos:
Custo fixo associado à produção (Cfp) – R$ 30,00
Custo unitário de produção (Cup) – R$ 5,00
Observe que o valor de Cup é proporcional à quantidade, isto é:
1 unidade – Cup(1) = 1 x R$ 5,00 = R$ 5,00
2 unidades – Cup(2) = 2 x R$ 5,00 = R$ 10,00
3 unidades – Cup(3) = 3 x R$ 5,00 = R$ 15,00
4 unidades – Cup(4) = 4 x R$ 5,00 = R$ 20,00
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q unidades – Ct(q) = q x R$ 5,00 = R$ 5q
Então, a função custo total (Ct) para produzir q unidades do produto é dada por
Ct(q) = Cup(q) + Cfp
Ct(q) = 5q + 30
b) A função receita total
A receita total (Rt) é a soma de todas as receitas. Nesse caso, temos:
Preço de Venda (V) – R$ 6,50
Analogamente, o valor V é proporcional à quantidade q , isto é:
1 unidades – V(1) = 1 x R$ 6,50 = R$ 6,50
2 unidades – V(2) = 2 x R$ 6,50 = R$ 13,00
3 unidades – V(3) = 3 x R$ 6,50 = R$ 19,50
4 unidades – V(4) = 4 x R$ 6,50 = R$ 26,00
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q unidades – V(q) = q x R$ 6,50 = R$ 6,50q
Então, a função receita total (Rt) que informa a receita da venda de q unidades do produto é dada por
Rt(q) = V(q)
Rt(q) = 6,50q
c) A função lucro total (Lt)
Como V = C + L, podemos expressar o lucro (L) como a diferença L = V – C.
Além disso, como V = Rt e C = Ct, podemos escrever a função lucro total como a diferença das funções receita total e custo total, assim:
Lt = Rt – Ct
Que em função do número q de unidades produzidas/vendidas fica:
Lt(q) = Rt(q) – Ct(q)
Lt(q) = 6,50q – (5q + 30)
Lt(q) = 6,50q – 5q – 30
Lt(q) = 1,50q – 30
d) O Break Even Point (BEP)
O Break Even Point (BEP) é o ponto de equilíbrio entre receitas e despesas, isto é, quando o total de receitas é igual ao total de custos e – claro – o lucro é nulo.
Desse modo, encontrar o BEP significa encontrar o valor de q que é a solução da expressão
Lt(q) = 0
1,50q – 30 = 0
1,50q = 30
q = 30/1,50
q = 300/15
q = 20
Note que a expressão Lt(q) = 0 é equivalente à expressão Rt(q) = Ct(q).
Esta última pode ser interpretada geometricamente sendo o ponto de interseção entre as retas Rt(q) e Ct(q). (veja no esquema)
e) a produção necessária para um lucro de R$ 120,00
Aqui queremos determinar a quantidade q de produtos que geram um lucro de R$ 120,00. Mais uma vez usaremos a função lucro total que, agora, queremos que assuma o valor 120, ou seja:
Lt(q) = 120
1,50q – 30 = 120
1,50q = 120 + 30
q = 150/1,50
q = 1500/15
q = 100
Entendeu?
Espero ter ajudado.
Bons Estudos!
Para Saber Mais:
Marco Castro 