Algoritmo | Marco Castro

Oi Regina, tudo bem?

A dúvida que você enviou causa dificuldade mesmo porque não é costume da maioria pensar em problemas dessa natureza. Mas é um problema cuja resolução é simples.

Vamos lá.

Primeiro, lembre que o processo de divisão conta com os seguintes elementos: divisor (d), dividendo (D), quociente (q) e resto (r).

Dessa forma, podemos escrever o Algoritmo da Divisão:

$D=d \cdot q + r$

Agora, vamos pensar no enunciado do problema e usar o Algoritmo da Divisão para as informações dadas, substituindo os valores conhecidos.

Assim:

1. o número p é natural e, quando dividido por 13, deixa resto igual a 5;

$p=13 \cdot q + 5$

2. qual o resto da divisão de p – 5 por 13?

Observe que, da igualdade anterior, podemos chegar a essa resposta:

$p=13 \cdot q + 5$

$p-5=13 \cdot q$

dividindo ambos os lados da igualdade por 13, obtemos

$\frac{p-5}{13}=\frac{13 \cdot q}{13}$

então

$\frac{p-5}{13}=q$

Isto significa que a divisão de p – 5 por 13 é igual ao quociente (q) somente, ou seja, a divisão é exata.

E toda divisão exata tem resto igual a zero!

Entendeu?

Aliás, repare que essa informação está implícita no Algoritmo da Divisão que escrevi (ali em cima):

$D=d \cdot q + r$

$D-r=d \cdot q$

então

$\frac{D-r}{d}=q$

$\frac{D-r}{q}=d$

Então, sempre que subtraírmos o dividendo (D) pelo resto (r), a divisão se torna exata.

Observe um exemplo bem simples: 11 dividido por 2.

É uma continha fácil e rápida de se fazer, inclusive mentalmente, certo?

Mas vamos usar o Algoritmo da Divisão para pensar no resultado acima:

$11=2 \cdot 5 + 1$

$11-1=2 \cdot 5$

$10=2 \cdot 5$

então

$\frac{10}{2}=5$

$\frac{10}{5}=2$

Simples, não?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

Oi Fábio, tudo bem?

A questão que você postou é sobre MDC. Vamos lá:

Deseja-se descobrir o maior número natural tal que, quando dividimos os números 150 e 654 por esse valor o resto da divisão é 6. E é claro que, ao descobrir esse número, poderemos somar seus algarismos.

Bom, vamos dar um nome para esse número, digamos “d” (de divisor).

Através do Algoritmo da Divisão (de Euclides), que é tão somente escrever a divisão como você conhece de forma linear, isto é, numa única linha, assim:

D = d.q + r

Onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente e r = resto.

Ora, nós temos dois dividendos – 150 e 654 – e queremos determinar um ÚNICO divisor “d” e que deixe resto 6 em ambas as divisões, certo?

Então vamos escrever as expressões para essas duas informações através do algoritmo da divisão:

654 = d.q + 6

150 = d.q’ + 6

Observe que os q e q’ são diferentes, por isso o (‘) em q’, ok?

Subtraindo o 6 no lado esquerdo de ambas as equações, obtemos o seguinte:

650 – 6 = d.q -> 648 = d.q (eq.1)

150 – 6 = d.q’ -> 144 = d.q’ (eq.2)

As equações 1 e 2 nos informam que ambas as divisões – 144 por d e 648 por d – são exatas!

Isto significa que o divisor d é – na verdade – o maior divisor possível e comum entre aqueles dois números, ou seja, ele é o MDC entre 144 e 648.

E, caso você não se lembre, a definição para MDC (máximo divisor comum) é: “o produto dos fatores primos comuns e com menor expoente em todas as fatorações”.

Dito isto, vamos escrever 144 e 648 em suas formas fatoradas:

$144 = 2^{4} \cdot 3^{2}$