Progressão Aritmética

Olá Moisés, tudo bem?

A dúvida que você enviou é relativamente simples de resolver.

Vamos lá.

Para que um número seja divisível simultaneamente por 3 e por 7, ele deve ser divisível por $3 \cdot 7 = 21$ .

Dessa forma o que precisamos é determinar a PA com razão r = 21 entre 1 e 5000, concorda?

Assim, o primeiro termo dessa PA é o próprio 21, certo?

E o último termo?

Observe que 5000 não é múltiplo de 3 nem de 7. Então precisamos determinar o último número múltiplo de 21 menor do que 5000. E isso é fácil, veja só.

Quando dividimos 5000 por 21, encontramos o quociente 238 e resto 2. Então, podemos escrever essa divisão da seguinte forma:

$5000 = 238 \cdot 21 +2$

Então

$238 \cdot 21 = 5000 - 2 = 4998$

Ou seja, 4998 é o maior múltiplo de 3 e 7 simultaneamente menor do que 5000.

Agora, basta aplicarmos a expressão do Termo Geral da PA para resolvermos o problema.

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$

$4998 = 21 + (n - 1) \cdot 21$

$4998 = 21 + 21n -21$

$4998 = 21n$

$n = \frac {4998}{21}$

$n = 238$

Logo, existem 238 números inteiros múltiplos de 3 e 7 simultaneamente compreendidos entre 1 e 5000.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

Oi Vitor, tudo bem?

Essa questão que você postou é bem legal.

Vamos lá:

Como a seqüência dada é uma PA de razão igual a 2 (r = 2) e primeiro termo igual a 1 (a₁ = 1) podemos facilmente escrever alguns termos dessa PA, observe:

(a₁, a₂, a₃, a₄, …) = (1, 3, 5, 7, …)

Por outro lado, a função f(x) = ax + b que é dada, gera uma outra PA, cuja razão vale 6 (r = 6) e o primeiro termo vale 4 (f(a₁₎ = 4) e cujos termos são as imagens dos termos (a₁, a₂, a₃, a₄, …) quando aplicados na função, conforme foi dado:

[f(a₁), f(a₂), f(a₃), f(a₄), …] = (4, 10, 16, 22, …)

E tudo estaria resolvido caso os valores dos coeficientes a e b da função fossem conhecidos, concorda?

Então, basicamente, devemos determinar os valores dos coeficientes a e b para que possamos escrever a função e calcular o valor de f(2).

E como fazer isso?

Simples, veja só:

Como a₁ = 1, então f(a₁) = f(1) = 4 e, substituindo essas informações na expressão da função, teremos:

f(x) = ax + b

f(a₁) = a(a₁) + b

f(1) = a(1) + b = a + b e f(1) = 4

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a + b = 4 (eq.1)

Novamente, como a₂ = 3, então f(a₂) = f(3) = 10 e, substituindo essas informações na expressão da função, teremos:

f(x) = ax + b

f(a₂) = a(a₂) + b

f(3) = a(3) + b = 3a + b e f(3) = 10

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3a + b = 10 (eq.2)

Ora, obtivemos duas equações em que os parâmetros a e b são comuns portanto, basta resolver esse sistema que encontraremos os seus valores, observe:

a + b = 4 (eq.1)

3a + b = 10 (eq.2)

Da (eq.1), podemos escrever que:

a + b = 4 => b = 4 – a

substituindo na (eq.2), temos:

3a + 4 – a = 10

2a = 6

a = 3

Retornando com o valor de a na (eq.1), temos:

3 + b = 4

b = 1

Agora ficou fácil, não é mesmo?