O desenho multicolorido da Catia

Oi Cátia, tudo bem?

A questão que você enviou é de análise combinatória, especificamente sobre combinação simples.   E questões sobre esse assunto são sempre subjetivas, quer dizer: exigem uma boa dose de interpretação do leitor.   Vamos lá:

São 10 lápis de cor e um desenho para ser pintado com, no MÍNIMO, 4 cores, certo?   Dessa primeira informação (que é a primeira frase do problema) podemos pensar o seguinte: quantos subgrupos diferentes de 4 cores conseguimos formar com aquelas 10 cores?

Observe que o elemento a ser interpretado é o subgrupo de 4 cores e não somente uma cor, por exemplo: as cores azul, vermelho, amarelo e verde formam um subgrupo, isto é, mesmo que as usemos em ordem diferente elas continuam sendo o MESMO subgrupo, entendeu?

Porém, basta que mudemos apenas uma das cores (por exemplo: azul, vermelho, amarelo e laranja) para obtermos um NOVO e diferente subgrupo de 4 cores.   Dessa forma, podemos escrever a expressão de combinação simples – C(n,p) = n!/p!(n-p)! – para essa informação, assim:

C(10,4) = 10!/4!(10-4)! = 10!/4!6! = 10.9.8.7.6!/4!6! = 10.9.8.7/4.3.2.1 = 210

E essa seria a resposta caso não houvessem mais informações.

Como podemos usar no MÁXIMO 7 cores, significa que podemos usar – além das 4 cores mínimas necessárias – 5, 6 ou 7 cores.   Então devemos raciocinar da mesma maneira, isto é, aplicar a expressão de combinação simples nesses 3 casos.    Assim:

C(10,5) = 10!/5!(10-5)! = 10!/5!5! = 10.9.8.7.6.5!/5!5! = 10.9.8.7.6/5.4.3.2.1 = 252

C(10,6) = C(10,4)  = 210

C(10,7) = 10!/7!(10-7)! = 10!/7!3! = 10.9.8.7!/7!3! = 10.9.8/3.2.1 = 120

Agora a questão é: o que fazer com esses quatro resultados encontrados?

Dica: em análise combinatória (e em outros assuntos, como probabilidade) as partículas “ou” e “e” têm significado matemático específico em relação às operações adição e produto, observe:

OU” : operação ADIÇÃO ou UNIÃO – exclusividade (acontece apenas um de cada vez)

E” : operação PRODUTO ou INTERSEÇÃO – simultaneidade (acontece tudo de uma vez)

Entendeu?

Agora fica fácil decidir o que fazer com os quatro resultados.   Pergunte a si mesma o que deve acontecer sobre pintar com, no máximo, 7 lápis de cores diferentes:

“Eu devo pintar com  4 lápis E 5 lápis E 6 lápis E 7 lápis?”

ou

“Eu devo pintar com  4 lápis OU 5 lápis OU 6 lápis OU 7 lápis?”

Espero que você tenha decidido pela segunda frase!

Então, a resposta desse problema é a soma de todos os possíves resultados em se escolher 4, 5, 6 ou 7 lápis  em um grupo com 10 lápis.   Assim:

C(10,4) + C(10,5) + C(10,6) + C(10,7) = 210 + 252 + 210 + 120 = 792

Portanto, existem 792 maneiras distintas para se pintar o desenho com 4, 5, 6 ou 7 lápis diferentes.

Haja lápis pra fazer 792 desenhos! Coitadas das crianças…

No mais é isso aí.

Abraços.

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