Os problemas do filho da Deusiany

A Deusiany enviou sua dúvida por e-mail.   Vamos lá:

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“Prof. Marco, tenho um filho de 12 anos e estou pirando com tantos problemas para ajudá-lo a entender, conto com sua ajuda !

Obrigada, Deusiany

1)Pensei em um numero. Dividi-o por 3 e acrescentei 4 ao resultado. A seguir, dividi o novo resultado por 10 e então encontrei o resultado final 1. Qual o numero em que pensei ?

2) um comerciante, no final do ano, distribuiu parte de seu lucro entre seus três sócios. O primeiro recebeu 2/5 da parte do lucro mais R$ 5000,00; o segundo recebeu 3/7 da parte do lucro mais R$ 7000,00; o terceiro recebeu R$ 9000,00.qual parte do lucro distribuído?

Deusiany Gaudart “

 

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Oi Deusiany, tudo bem?

Os problemas que geraram dúvidas para o seu filho fazem parte do assunto Equações e Problemas do 1º grau.

Para resolvê-los você precisa – basicamente – interpretá-los corretamente de maneira que ao reescrevê-los matematicamente, seja possível resolver a equação formada, obtendo assim a solução procurada.

Então, para o 1º problema, podemos pensar o seguinte:

1. Pensei em um número:

n

2. Dividi esse número por 3:

\frac{n}{3}

3. Acrescentei 4 ao resultado:

\frac{n}{3} + 4

4. Divido o (novo) resultado por 10:

\frac{\frac{n}{3}+4}{10}

5. O resultado final é igual a 1:

\frac{\frac{n}{3}+4}{10}=1

Notou que encontramos uma equação do 1º grau?

Agora basta resolvê-la.   Observe:

\frac{\frac{n}{3}+4}{10}=1

\frac{n}{3}+4=10

\frac{n}{3}=10-4

n=6 \cdot 3

n=18

 Simples, não? 

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Já para o 2º problema, você deve observar que as partes do lucro que aparecem no problema são dadas ao 1º e 2º funcionários apenas, isto é, 2/5 e 3/7 do lucro, respectivamente.

Então, a parte do lucro (L) que fora distribuída corresponde exatamente à soma dessas duas partes apenas.

Observe:

\frac{2L}{5}+ \frac{3L}{7}= \frac{14L+15L}{35}= \frac{29L}{35}

 

Portanto, foi distribuído 29/35 do lucro.

Agora, uma observação: em geral esse tipo de problema fornece algum dado de referência para que possamos determinar valores numéricos.   Nesse caso, se viesse dito no enunciado que o “lucro total” fora distribuído (ao invés de “parte” dele) conseguiríamos determinar uma solução numérica para o problema (e não literal e em função do parâmetro “L”).

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

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As equações da Fernanda

Oi Fernanda, tudo bem?

Essas duas equações que você diz ter dúvidas na resolução são, de forma geral, de fácil solução.

A regra básica é: desenvolva a expressão algébrica, coloque as parcelas que contém incógnitas (letras) de um lado do sinal de igual e as que não tem, do outro lado.

O resto é conta!

Observe:

x² – 4x + 9 = x(x + 6)

x² – 4x + 9 = x² + 6x

x² – x² – 4x – 6x = -9

-10x = -9

x = -9/-10

———–x————

3(x + 2) + x² = (x + 4)(x + 1)

3x + 6 + x² = x² + x + 4x + 4

3x + 6 + x² = x² + 5x + 4

3x + x² – x² – 5x = 4 – 6

-2x = -2

x = -2/-2

x = 1

Viu só?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

A área do terreno

Ronaldo, a solução desta questão é mais rápida, por isso postei antes que a do relógio, ok?

Vamos lá:

A área de um retângulo é a medida dada pelo produto dos seus lados, isto é, se chamarmos de “C” a medida do comprimento  e de “L” a medida da largura, a medida da área “A“, em unidades quadradas (km², m², cm², etc.) será:

A = C x L

Nesse problema, o perímetro (que é a soma de todos os lados do retângulo) mede 110 metros.   Ora, repare que somar os lados de um retângulo é somar as medidas do comprimento e da largura e multiplicar por dois, veja só:

2p = C + C + L + L = 2C + 2L = 2(C + L)

 (2p é a notação para perímetro)

Além disso, sabemos que o comprimento vale 30 metros, isto é, C = 30 m.

Com as informações acima, podemos escrever a primeira equação do problema, que é a do perímetro, observe:

2p = 2(C + L)

110 = 2(30 + L)

110 = 60 + 2L

110 – 60 = 2L

2L = 50

L = 25 m

Portanto, a área agora pode ser calculada:

A = C x L

A = 30 x 25

A = 750 m²

Então, o terreno em questão tem 750 metros quadrados de área.   Um terrenão.

No mais é isso aí.

A divisão “sinistra” do Fábio

Oi Fábio, tudo bem?

A questão que você postou é sobre MDC. Vamos lá:

Deseja-se descobrir o maior número natural tal que, quando dividimos os números 150 e 654 por esse valor o resto da divisão é 6. E é claro que, ao descobrir esse número, poderemos somar seus algarismos.

Bom, vamos dar um nome para esse número, digamos “d” (de divisor).

Através do Algoritmo da Divisão (de Euclides), que é tão somente escrever a divisão como você conhece de forma linear, isto é, numa única linha, assim:

D = d.q + r

Onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente e r = resto.

Ora, nós temos dois dividendos – 150 e 654 – e queremos determinar um ÚNICO divisor “d” e que deixe resto 6 em ambas as divisões, certo?

Então vamos escrever as expressões para essas duas informações através do algoritmo da divisão:

654 = d.q + 6

e

150 = d.q’ + 6

Observe que os q e q’ são diferentes, por isso o () em q’, ok?

Subtraindo o 6 no lado esquerdo de ambas as equações, obtemos o seguinte:

650 – 6 = d.q -> 648 = d.q (eq.1)

e

150 – 6 = d.q’ -> 144 = d.q’ (eq.2)

As equações 1 e 2 nos informam que ambas as divisões – 144 por d e 648 por d – são exatas!

Isto significa que o divisor d é – na verdade – o maior divisor possível e comum entre aqueles dois números, ou seja, ele é o MDC entre 144 e 648.

E, caso você não se lembre, a definição para MDC (máximo divisor comum) é: o produto dos fatores primos comuns e com menor expoente em todas as fatorações”.

Dito isto, vamos escrever 144 e 648 em suas formas fatoradas:

144 = 2^{4} \cdot 3^{2}

e

648 = 2^{3} \cdot 3^{4}

Então:

MDC(144, 648 ) = 2^{3} \cdot 3^{2}=8 \cdot 9=72

Portanto, a soma dos algarismo de 72 vale 7 + 2 = 9.

E como você pode ter certeza de que esse é o valor correto?

Simples: basta dividir 150 por 72 e depois 654 por 72, você vair ver que vai dar resto 6 nas duas contas. 😉

No mais é isso aí.

Abraços.