A régua do Jean

Oi Jean, tudo bem?

Antes de mais nada, verifique o enunciado da 1ª questão que você postou, porque me surgiram dúvidas, como:

1. “Uma barra de estanho tem uma forma de prisma reto de base 4cm²” – A base de todo prisma reto é – em geral – um polígono regular.   Não é dito qual é o polígono da base.

2. “Determine o comprimento e o volume dessa barra à temperatura de 518°F“. – Trata-se de uma resolução de Dilatação Volumétrica.   Isto significa que é preciso se calcular o volume inicial do prisma, cuja fórmula geral  é:

Volume = Área da Base x Altura

Não é informada a medida da altura do prisma, somente o comprimento, que vale 1m.   E aqui temos uma situação – no mínimo – equivocada porque, se a área da base mede 4cm², então o comprimento NÃO poderia medir 1m.   A menos – é claro – que essa medida seja da altura do prisma.    Aí o problema passa a fazer sentido.

Depois que você confirmar isso, volte a postar (confirmando ou retificando) o enunciado, ok?

Dito isto, vamos à 2ª questão.

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A sua dúvida é, como várias que respondi aqui mesmo no blog, uma aplicação direta do conceito de dilatação térmica dos sólidos e a correta aplicação da fórmula, claro. ;-)

Vamos lá então:

De forma geral, o problema é o seguinte: qual será a (nova) temperatura da régua para que a medida passe a variar 1mm a mais, certo?

Para resolver um problema desse tipo, usamos a expressão própria para a Dilatação Linear:

∆L = L0 . α . ∆T

Onde:

  • ∆L = L – L0: é a variação entre as medidas final e inicial (ou propriamente o valor da dilatação – ou contração – ocorrida)
  • α: é o coeficiente de dilatação linear (valor de referência que indica o quanto uma substância varia – em unidade de medida – a cada grau de temperatura).
  • ∆T = T – T0: é a variação entre as temperaturas final e inicial da substância

(Aliás, esse raciocínio é análogo para as dilatações superficial e volumétrica dos sólidos).

Então, retiramos do enunciado do problema as informações necessárias:

 T = ? (temperatura final do fioé o que desejamos calcular, certo?)

T0 = 20°C (temperatura inicial da régua))

αlatão = 19 x 10-6 °C-1  (coeficiente de dilatação linear da régua)

ΔL = L – L(variação do comprimento do fio)

Observe que, o aumento de 1mm na medida original devido à variação da temperatura (que certamente aumentou, concorda?) corresponde à variação do comprimento (ΔL) e o resultado de 30cm (L) corresponde à medida inicial (Lo) acrescida do erro (ΔL).

(E aqui é preciso fazer uma observação importante porque, esse enunciado permite duas interpretações: (1ª) o erro de 1mm ser acrescido na medida de 30cm ou; (2ª) o erro de 1mm ser acrescido na medida inicial resultando nos 30cm.   A solução comentada que farei aqui será com base na (2ª) interpretação, ok?   Mas fique tranquilo porque, se você quiser resolver pela (1ª) interpretação, a resolução será análoga.)

Então, podemos escrever a última igualdade acima da seguinte maneira:

ΔL = L – L

1mm = 30cm – Lo

Mas note que as unidades de medidas são diferentes.   Temos que converter uma delas para efetuarmos os cálculos corretamente.   E isto é simples porque, se 1cm = 10mm, logo 30cm = 300mm, certo?

Então:

ΔL = L – L

 1mm = 30cm – Lo

Lo = 300mm – 1mm

Lo = 300 – 1

Lo = 299

Logo, a medida inicial da régua era de 299mm.

Agora podemos substituir as informações na fórmula da Dilatação Térmica Linear:

∆L = L0 . α . ∆T

1 = 299 . 19.10-6 . (T – 20)

1 = 5681.10-6 . (T – 20)

1 / 5681.10-6 = T – 20

T – 20 = 1 / 5681.10-6 

T – 20 = 1 / 0,005681

T = 176,03 + 20

T = 196,03

Portanto – e por mais absurdo que pareça – é preciso que a régua de latão atinja uma temperatura aproximada de 196°C (quer dizer: 176°C a mais!) para aumentar 1mm no seu comprimento e provoque esse erro nas medidas.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

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Diego e o paralelepípedo

Oi Diego, tudo bem?

A sua dúvida é, como várias que respondi aqui mesmo no blog, uma aplicação direta do conceito de dilatação térmica dos sólidos e a correta aplicação da fórmula, claro. 😉

Vamos lá então:

De forma geral, o problema é o seguinte: qual será o (novo) volume do paralelepípedo quando a temperatura variar, certo?

Observe que, como a variação da temperatura é negativa (ela passa de 20ºC para -10ºC, portanto, diminui) o que acontecerá com o volume do sólido é que ele irá diminuir. Esse processo é chamado de contração térmica, que é – exatamente – o contrário da dilatação térmica.

E para resolver matematicamente esse problema, precisamos usar a fórmula para a dilatação volumétrica dos sólidos, que é:

ΔV = Vo x γ x ΔT

Então, retiramos do enunciado as informações necessárias para a resolução do problema:

Vo = (1000 x 1500 x 2000) cm= (1,0 x 1,5 x 2,0) m3 = 3,0 m(volume inicial do paraleleípedo)

To = 20°C (temperatura inicial do paraleleípedo)

T = -10°C (temperatura final do paraleleípedo)

αalumínio = 24 x 10-6 °C-1  (coeficiente de dilatação linear do aluminío)

ΔV = ? (ΔV = V – V= variação do volume do paralelepípedo – é o que desejamos calcular para determinarmos o volume final, certo?)

Agora, lembre que existe uma relação entre os coeficientes de dilatação linear (α), superficial (β) e volumétrica (γ):

 β = 2α

e

γ = 3α

Desta forma, podemos substituir as informações dadas na fórmula:

ΔV = Vo x γ x ΔT

ΔV = 3,0 x 3.24.10-6 x (-10 – 20)

ΔV = 3,0 x 72.10-6 x (-30)

ΔV = 216.10-6 x (-30)

ΔV = 216.10-6 x (-30)

ΔV = -6480.10-6

ΔV = -0,0648

Ou seja, o volume do paralelepípedo variou – negativamente – 0,0648 m3.   Isto significa que houve uma contração térmica (o volume reduziu), como era de se esperar realmente.

Agora ficou fácil determinar o volume final, pois:

ΔV = V – V

-0,0648 = V – 3,0

3,0 – 0,0648 = V

V = 2,99352

Portanto, o volume final do paralelepípedo será de 2,99352 m3.

Entendeu?
Bons Estudos!

Para Saber Mais:

O fio de alumínio da Maria

Oi Maria, tudo bem?

A dúvida que você enviou por e-mail foi essa:

“Boa Tarde, Prof. Marcos.
 Gostaria de obter sua ajuda, no cálculo abaixo. Se não for incomodar-lhe.
 O comprimento de um fio de alumínio é de 25M a uma temperatura de 20º C.  Calcule a sua dilatação linear quando aquecemos o fio até 60ºC.  O coeficiente de dilatação linear do alumínio é 24 X 10 -6 ºC.
Obrigada pela atenção.”

Maria, esse problema é simples porque trata de uma aplicação direta da fórmula de dilatação linear (dos sólidos), que é a seguinte: 

ΔL = Lo x α x ΔT 

Então, retiramos do enunciado do problema as informações necessárias:

 Lo = 25 metros (comprimento inicial do fio)

To = 20°C (temperatura inicial do fio)

T = 60°C (temperatura final do fio)

αalumínio = 24 x 10-6 °C-1  (coeficiente de dilatação linear do fio)

ΔL = ? (ΔL = L – L= variação do comprimento do fio – é o que desejamos calcular, certo?)

Observe que, dos dados acima, já podemos calcular a variação de temperatura (ΔT) ocorrida: 

ΔT = T – To

ΔT = 60 – 20

ΔT = 40°C 

Agora, é só substituir na fórmula da dilatação linear os dados que temos, veja só: 

ΔL = Lo x α x ΔT

ΔL = 25 x 24 x 10-6 x 40

ΔL = 600 x 10-6 x 40

ΔL = 24000 x 10-6

ΔL = 24 x 103 x 10-6

ΔL = 24 x 10-3

ou

ΔL = 0,024 

Assim, a dilatação ocorrida no fio de alumínio, quando ele sofre um aumento de temperatura de 20°C até 60°C é de 0,024 metros.

Entendeu?

Obs.: Sugiro que você – se estiver com tempo – leia também a solução da dúvida do André, que trata do mesmo assunto.  (Para ler, clique aqui).

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

André e a Dilatação Térmica

Oi André, tudo bem?

O primeiro problema que você postou é de dilatação linear, como aparece no próprio enunciado.

Para resolver um problema desse tipo, usamos a expressão própria para a Dilatação Linear:

∆L = L0.α. ∆T

Onde:

  • ∆L = L – L0: é a variação entre as medidas final e inicial (ou propriamente o valor da dilatação – ou contração – ocorrida)
  • α: é o coeficiente de dilatação linear (valor de referência que indica o quanto uma substância varia – em unidade de medida – a cada grau de temperatura).
  • ∆T = T – T0: é a variação entre as temperaturas final e inicial da substância

(Aliás, esse raciocínio é análogo para as dilatações superficial e volumétrica dos sólidos).

Dito isto, retiremos do enunciado do problema as informações dadas para a resolução: 

Medida inicial: L0 = 10m

Dilação ocorrida: ∆L = 7mm

Note que não podemos ter unidades de medidas diferentes, então é preciso transformar uma das duas unidades – metro ou milímetro – para que possamos prosseguir com os cálculos.  O que não é difícil.   Por quê?metros

Ora,

1 milímetro equivale a 0,001 = 1/1000 = 1/103 = 10-3 metros.

Então,

7 milímetros equivalem 7 vezes mais, isto é, 7 x 10-3 metros. 

E por fim,

Variação de temperatura: ∆T = 70 – 20 = 50°C

Coeficiente de dilatação linear: α = ? (é o que desejamos calcular, certo?

Bom, agora temos todas as informações necessárias para substituirmos na fórmula da dilatação linear: 

∆L = L0.α. ∆T

7 x 10-3 = 10 x α x 50

7 x 10-3 = 500 x α

α = 7 x 10-3 / 500

α = 7 x 10-3 / 5 x 102

α = 7 x 10-3 / 5 x 102

α = (7/5) x 10-3-2

α = (7/5) x 10-5

α = 1,4 x 10-5 

Agora, basta olhar na tabela dos coeficientes de dilatação linear (as potências de 10 podem variar entre tabelas de diferentes autores.   Por exemplo, nesse caso, devemos observar que α = 1,4 x 10-5 = 140 x 10-6 = 0,14 x 10-4, entendeu?

Particularmente, você cita no enunciado a Tabela 1.2 como referência para esse exercício.   E como você não colocou a tabela, usarei essa: 

E, pela tabela acima, o material que possui coeficiente de dilatação térmica equivalente a α = 1,4 x 10-5 é o ouro.

Para o segundo problema, a fórmula (que você diz ter dúvidas) é a que relaciona as duas unidades de temperatura em questão: Celsius e Fahrenheit, 

TC/5 = (TF – 32)/9 

A condição dada no enunciado é que a temperatura medida na escala Fahrenheit é o dobro da temperatura medida na escala Celsius, ou seja:

TF = 2TC 

E como é pedido o resultado da temperatura na escala Fahrenheit, substituímos a segunda relação na primeira, da seguinte maneira: 

TF = 2TC

TF/2 = TC 

Logo, 

TC/5 = (TF – 32)/9

(TF/2)/5 = (TF – 32)/9

TF/10 = (TF – 32)/9

9TF = 10(TF – 32)

9TF = 10TF – 320

320 = 10TF – 9TF

TF = 320 

Então, a temperatura na escala Fahrenheit vale 320F e portanto, na escala Celsius vale 160°C.

Espero ter ajudado.

Para Saber Mais: