outubro 23, 2008

Kamilla e a força elétrica

Olá Kamilla, tudo bem?

A dúvida que você postou (apesar do desespero) é, na verdade, simples de ser resolvida e faz parte do conteúdo de física chamado Eletrostática.

Aliás, a questão do fenômeno físico em si é – também – extremamente simples porque, como você já deve saber, cargas elétricas com sinais opostos se atraem, com sinais iguais se repelem. E pronto!

Agora, chegar a um resultado matemático sobre alguns desses problemas é que causam dúvidas, não é?

Veja, nese caso os dois pontos que geram as maiores dúvidas são em conteúdos matemáticos e não físicos: operações com potências de dez (números escritos em notação científica) e propriedades das potências (principalmente as duas mais conhecidas e usadas: produto e quociente de potências de mesma base).

Vamos lá.

As cargas elétricas possuem mesmo valor e mesmo sinal então, não poderia ser diferente do enunciado do problema: elas irão se repelir mesmo…

Nesse caso podemos representar ambas as cargas por uma única letra, digamos “q“.

A expressão para a determinação da Força Elétrica entre duas cargas elétricas é

$F= k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{d^2}$

Onde:

F: é a Força Elétrica (N = Newton – unidade de força) de interação entre as cargas elétricas $q_1$ e $q_2$

K: Constante Eletrostática (k = 9.10⁹ N.m²/C²)

q: Carga Elétrica (C= Coulomb – unidade de carga elétrica)

d: Distância entre as cargas elétricas (m = metro – unidade de distância)

Bem, as informações dadas no enunciado do problema são as seguintes:

F = ? (é o que desejamos calcular, certo?)

K = 9.10⁹ N.m²/C²(seu valor não é dado no enunciado, mas em geral os alunos devem (ou deveriam saber)

q = $10^{-12}$ (em módulo, já que ambas as duas cargas são negativas)

d = $10^{-4}$ (medida da distância entre as duas cargas elétricas dadas)

Agora, basta substituir os valores informados (e devidamente convertidos para as unidades do S.I., quando for o caso) na fórmula descrita acima:

$F= k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{d^2}$

$F= 9,0 \cdot 10^{9} \cdot \frac{(10^{-12}) \cdot (10^{-12})}{(10^{-4})^2}$

$F= 9,0 \cdot 10^{9} \cdot \frac{(10^{-12})^2}{(10^{-4})^2}$

$F= 9,0 \cdot 10^{9} \cdot \frac{10^{-24}}{10^{-8}}$

$F= 9,0 \cdot 10^{9} \cdot 10^{-16}$

$F= 9,0 \cdot 10^{-7}$

Ou seja, nas condições dadas no problema, a força de repulsão entre as duas cargas será de $F= 9,0 \cdot 10^{-7}$ N.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Para Saber Mais:

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Com a tag Carga Elétrica, Constante Eletrostática, Eletrostática, força elétrica, Lei de Coulomb
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outubro 19, 2008

Paulo e a área da sala

Olá Paulo, tudo bem?

A dúvida que você apresenta não é tão complicada quanto parece. Na verdade, tudo se resume a transcrever as informações dadas do português para o “matematiquês”.

E se tudo for feito corretamente, teremos um Sistema de Equações do 2° grau para resolver e que nos fornecerá a solução procurada.

Vejamos:

Como a sala é retangular, podemos, sem nenhum problema, dar nomes aos seus lados em função das dimensões respectivas, já que uma será maior do que a outra. Então, seja “x” o comprimento da sala e “y” a largura.

Sabemos que a diferença entre as dimensões dadas vale 7 metros, ou seja:

$x-y=7$

(eq.1)

Sabemos também que se adicionarmos 2 metros ao valor de cada uma das dimensões, o valor da área (da sala) dobra.

Bem, a área da sala é dada pela expressão:

$A=x \cdot y$

Assim, podemos escrever a seguinte expressão para a informação anterior:

$(x+2) \cdot (y+2)=2xy$

$xy+2x+2y+4=2xy$

$2xy-xy-2x-2y-4=0$

$xy-2x-2y-4=0$

(eq. 2)

Observe que as duas equações (1 e 2) encontradas formam um Sistema de Equações do 2° grau.

E é comum não se perceber isso porque “2° grau”, na maioria das vezes, significa ver o “exponte 2”. Na verdade, se uma equação é do 2° grau, significa que existe (pelo menos) uma parcela que é o produto das (duas) incógnitas, observe:

$x^{2}=x \cdot x$

$xy=x \cdot y$

Agora, para resolvermos esse sistema é simples: basta isolarmos uma das incógnitas da equação 1 e substituirmos na equação 2 (método da substituição), veja:

$x=7+y$

Substituindo na equação 2, temos:

$(7+y)y-2(7+y)-2y-4=0$

$7y+y^{2}-14-2y-2y-4=0$

$y^{2}+3y-18=0$

Ao resolver a equação quadrática acima, você verá que suas raízes são 3 e -6.

Mas o valor -6 não traduz significado físico ao problema, já que a incógnita “y” representa uma medida linear (a largura), portanto necessariamente positiva, certo?

Para o outro valor, basta substituirmos o valor encontrado para y (=3) em uma das duas equações.

Para economizar tempo, vou substituir na primeira, já que é uma equação menor.

Assim:

$x=7+y$

$x=7+3$

$x=10$

Portanto, as dimensões procuradas são x = 10 (comprimento) e y = 3 (largura).

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Para Saber Mais:

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Com a tag Equações do 2° grau, Problemas do 2° grau, Sistema de Equações do 2° grau
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outubro 14, 2008

E os 10% do garçom?

O Sr. Márcio Carlos me enviou uma dúvida que é muito comum mas, como o próprio relata, ninguém o respondeu ainda. Ele diz:

“Com tanta coisa dificil para perguntar, tenho uma que deve ser fácil, mas ninguém aqui me respondeu.

Lá vai:

Um garçon me apresenta uma conta de R$ 71,50, inclusa a gorjeta de 10%.

Como faço para saber o valor da conta sem os dez por centro e sem olhar a comanda?

Eu sei que o valor original é de R$ 65,00.

Por mais que faça contas não chego de forma alguma neste valor.

O Sr. pode me ajudar?

Grato desde já.”

**************************************************

Olá Sr. Márcio, tudo bem?

Às vezes, as dúvidas mais simples são as mais difíceis de serem indagadas porque as pessoas acham que farão papel de bobas, se expondo sem necessidade, essas coisas que só servem para atrasar a vida do ser humano.

Mas, realmente, dentre tantas outras dúvidas que seleciono para responder, a sua, além de inusitada foi extremamente sincera.

Por isso, aí vai sua resposta:

Digamos que você tenha feito um gasto de “R” reais num restaurante cuja conta já veio com os 10% incluso, somando um total de “T” reais.

Ora, isto significa que o valor total (T) corresponde ao valor do custo (R) mais 10% daquele valor (10% de R), certo?

Ou seja:

T = R + 10% de R

T = R + 10% x R

Colocando o valor “R” em evidência, temos:

T = R x (1 + 10%)

T = R x (1 + 10/100)

T = R x (1 + 1/10)

T = R x (1 + 0,1)

T = R x (1,1)

Chegamos então a uma igualdade que nos indica que o valor total da despesa (T) corresponde a 1,1 vezes o valor de custo da despesa (R) ou o equivalente a 110%.

Então, respondendo à sua pergunta:

Para saber o valor (real) da despesa “R“, basta dividir o valor total “T” (aquele da comanda) por 1,1.

Simples não?

Para Saber Mais:

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Com a tag porcentagem, razões centesimais, regra de três simples
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outubro 2, 2008

José Wesley e a escala de trabalho

O José Wesley enviou sua dúvida por e-mail.

“Olá Professor.

Queria entender o raciocínio para o tipo de questão seguinte:

Um determinado soldado trabalha em escala 12/24 e outro soldado trabalha em escala 9/18. Após quantas horas os dois irão se encontrar novamente?

Grato.”

Realmente, a dúvida do José Wesley é pertinente e relevante porque todos os problemas que envolvem o raciocínio de MDC e/ou MMC sempre têm uma dose extra de subjetividade, isto é, depende muito da interpretação de quem lê.

Vamos lá.

Para determinar em quantas horas os dois soldados irão se encontrar novamente, precisamos pensar nas informações dadas relativas às suas respectivas escalas de trabalho:

soldado A -trabalha 12 horas – folga 24 horas

soldado B – trabalha 9 horas – folga 18 horas

Esse tipo de problema envolve uma comparação implícita, de forma que se faz necessário uma referência (inicial) para que a comparação (entre os dois objetos envolvidos) faça sentido.

Observe que se eles irão se encontrar novamente, é porque eles já estiveram juntos, concorda?

Isto significa que podemos supor (nesse problema) que ambos os soldados iniciaram suas jornadas de trabalho juntos.

E aqui reside o ponto crucial do entendimento e da interpretação do problema. Por quê?

Porque se eles irão se encontrar após uma quantidade de horas específica (e igual para ambos), a soma das horas de trabalho com as horas de folga deverão totalizar o mesmo tempo (decorrido) para ambos.

Como assim?

É simples, veja:

Os soldados começam a trabalhar juntos, folgam separados, voltam a trabalhar separados, folgam separados, voltam a trabalhar separados, e esse processo se repete até que eles se encontrem, certo?

Isto significa que o total de tempo (em horas) decorrido corresponde à soma das horas trabalhadas com as horas de folga. E, como disse acima, o total de horas deverá ser igual para ambos os soldados.

Dessa forma podemos escrever duas equações para os dois soldados, observe:

soldado A: nº horas trabalhadas + nº horas de folga = tempo total (em horas)

soldado B: nº horas trabalhadas + nº horas de folga = tempo total (em horas)

Substituindo as informações dadas no enunciado e chamando o tempo total de “h“, temos:

soldado A: $12n+24n=h$

soldado B: $9m+18m=h$

Arrumando ambas as equações, obtemos:

$36n=h$

$27m=h$

As duas equações indicam que o valor “h” (tempo total) é divisível por 36 e por 27 simultaneamente, ou seja, h é o menor múltiplo de 36 e de 27. Então:

$MMC(27, 36)=h$

Para determinar “h“, basta fatorarmos os números 27 e 36:

$27=3^{3}$

$36=4 \cdot 9=2^{2} \cdot 3^{2}$

Então,

$MMC(27, 36)=2^{2} \cdot 3^{3}=4 \cdot 27=108$

Portanto os soldados irão se encontrar após 108 horas de trabalho.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Para Saber Mais:

Só Matemática: MDC e MMC
Wikipédia: MDC e MMC
Matemática Essencial

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Com a tag MDC, mmc
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outubro 1, 2008

A equação exponencial da Luzilene

Oi Luzilene, tudo bem?

A dúvida que você postou sobre Equações Exponenciais é, na verdade, simples. Desde que você lembre das Propriedades das Potências para isso.

Vamos lá.

Você quer a solução (ou conjunto verdade) da equação

$5^{x+2}-5^{x+1}=100$

Isto significa que precisamos determinar o valor da incógnita “x” tal que, quando substituída pelo seu valor correto, o resultado encontrado seja igual a 100.

Observe que as duas parcelas da equação são potências de base 5 com expoentes compostos.

Então, para melhorar a expressão dada, precisamos utilizar uma das propriedades das potências para isso:

$a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$