julho 13, 2008

Karen e os algarismos

Oi Karen, tudo bem?

A dúvida que você postou trata de um assunto chamado Análise Combinatória, mais especificamente Arranjo Simples.

Nessa questão, você deve observar a quantidade de algarismos que compõe os números compreendidos entre 300 e 3000. Repare que esse conjunto finito pode (e deve) ser dividido em dois subconjuntos menores e em função da quantidade de algarismos para melhorar o entendimento, ou seja, o primeiro subgrupo com os números de 3 algarismos (300 a 999) e o segundo grupo com os números de 4 algarismos (1000 a 3000). Assim:

{300, …, 3000} = {300, …, 999} ∪ {1000, …, 3000}

Isto irá facilitar a resolução da questão pois, separando dessa forma, podemos calcular a quantidade de números em função quantidade de algarismos dos elementos (como disse ali em cima: 3 e 4 alagarismos) que compõe cada subconjunto, certo?

Para lembrar, a fórmula para o Arranjo Simples é dada pela expressão:

A_{n, p}= n!/(n-p)!

Onde n é o número total de elementos do conjunto que estamos trabalhando e p o número de elementos dos subgrupos distintos (arranjos) que podem ser formados. Além disso, queremos apenas que apareçam os seguintes alagarismos {1, 2, 3, 5, 7, 8}, correto? (Por exemplo, números como 122, 585, 1377 ou 2888 não serão computados nesse cálculo porque um ou mais de algarismo se repete na composição do número).

Assim, o resultado que desejamos calcular é a soma dos resultados de cada subgrupo, ou seja:

Resultado Final = A_{6, 3} + A_{6, 4}

Então vamos lá:

Para o primeiro grupo de número com 3 algarismos apenas, queremos formar arranjos (subgrupos = números) com os 6 elementos dados (1, 2, 3, 5, 7 e 8) tomados 3 a 3 (cada subgrupo deverá ter somente 3 daqueles 6 elementos SEM que nenhum deles se repita). Aplicando na fórmula, obtemos o seguinte:

A_{n, p}= n!/(n-p)!

A_{6, 3}= 6!/(6-3)!

A_{6, 3}= 6!/3!

A_{6, 3}= 6 x 5 x 4 x 3! / 3!

A_{6, 3}= 6 x 5 x 4

A_{6, 3}= 120

Portanto, podemos formar 120 números números distintos de 3 algarismos com os 6 algarismos do conjunto {1, 2, 3, 5, 7, 8}.

Para o segundo grupo de números com 4 algarismo apenas, procedemos de maneira análoga à anterior:

A_{n, p}= n!/(n-p)!

A_{6, 4}= 6!/(6-4)!

A_{6, 4}= 6!/2!

A_{6, 4}= 6 x 5 x 4 x 3 x 2! / 2!

A_{6, 3}= 6 x 5 x 4 x 3

A_{6, 3}= 360

Portanto, podemos formar 360 números distintos de 4 algarismos com os 6 algarismos do conjunto {1, 2, 3, 5, 7, 8}.

Logo, o resultado (R) que procuramos é a soma dos dois resultados encontrados, ou seja:

R = A_{6, 3} + A_{6, 4}

R = 120 + 360

R = 480

Portanto, poderemos formar 480 números distintos entre 300 e 3000 utilizando apenas os algarismos {1, 2, 3, 5, 7, 8}.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

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Com a tag análise combinatória, arranjos simples
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julho 6, 2008

As bandeiras da Lorena

Oi Lorena, tudo bem?

A dúvida que você postou é sobre Permutação com Repetição.

Então, formar sinais diferentes com as 3 bandeiras azuis, as duas bandeiras vermelhas e a bandeira branca, significa formar sinais coloridos com as 6 bandeiras em uma certa sequência (aleatória) com as bandeiras disponíveis.

Por exemplo:

(1ª) azul, (2ª) vermelha, (3ª) azul, (4ª) vermelha, (5ª) branca, (6ª) azul

É uma das sequências possíveis.

Porém, note que, se mudarmos as duas bandeiras vermelhas de posição, continuamos com a mesma sequência, concorda?

O resultado que encontraremos com a fórmula da Permutação com Repetição será exatamente o número total de sinais diferentes – usando as seis bandeiras – já descontados os casos em que os sinais se repetem quando mudamos bandeiras com as mesmas cores de posição.

A fórmula para a Permutação com Repetição é a seguinte:

P_{n, (a1, a2, a3, …, ak)}

Onde n é o número total de elementos e cada a_i(i =1, 2, 3, …, k) representa o número de vezes que um elemento se repete no conjunto.

Assim, retiramos as informações necessárias do enunciado do problema:

n = 6 (número total de bandeiras)

a1 = 3 (número de bandeiras azuis)

a2 = 2 (número de bandeiras vermelhas)

E aplicamos na fórmula acima:

P_{6, (3, 2)}= $\frac{6!}{3! \cdot 2!}$

P_{6, (3, 2)}= $\frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{2}$

P_{6, (3, 2)}= $6 \cdot 5 \cdot 2$

P_{6, (3, 2)}= $60$

Portanto, podemos formar 60 sinais diferentes com 3 bandeiras azuis, 2 bandeiras vermelhas e uma bandeira branca.

Entendeu?

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

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Com a tag análise combinatória, Permutações, Permutações com Repetição
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março 23, 2008

Gerson e os números de 5 algarismos (com e sem o “2”)

Oi Gerson, tudo bem?

O problema que você tem dúvida trata do Princípio Multiplicativo (ou Princípio Fundamental da Contagem – PFC), que é um dos tópicos de estudo da Análise Combinatória.

Em geral, os problemas de Análise Combinatória oferecem mais dificuldade subjetivamente do que matematicamente, isto é, depende muito da interpretação de quem lê.

Primeiro, vamos considerar os números de 10.000 até 30.000 da seguinte maneira:

De 10.000 até 19.999 (1º conjunto)

De 20.000 até 29.999 (2º conjunto)

30.000 (3º conjunto, unitário)

Por quê?

Porque ficará mais fácil entender o que se pede.

Então, vamos lá:

a) Quantos números não têm algarismos repetidos?

Para determinar quantos números não possuem algarismos repetidos, você deve pensar que o número formado com 5 algarismos do conjunto dos algarismos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} não poderá ter elemento REPETIDO, ou seja, números como 12.342, 54.844 ou 30.000 não poderão fazer parte desse conjunto, certo?

Então, resolver essa questão significa pensar nas ESCOLHAS que poderemos ter para cada casa decimal (ou a posição do algarismo que compõe o número).

Observe o esquema abaixo, onde cada espaço representa uma casa decimal do número de cinco algarismos:

Escolhas
Possibilidades	dm	m	c	d	u

Na 1ª linha temos as ESCOLHAS que podemos fazer. Na 2ª linha temos as POSSIBILIDADES de escolhas para aquela determinada posição (casa decimal)

Bom, como os números vão de 10.000 até 30.000, não podemos ter o algarismo ZERO na última casa decimal. Além disso, o último número (30.000) é o único que tem o algarismo 3 na última casa decimal.

Mas como possui algarismos repetidos (4 zeros), o número 30.000 não poderá ser escolhido.

Assim, as únicas possibilidades de algarismos para esta posição são: o 1 ou o 2, concorda?

Portanto, temos, no máximo, duas escolhas para fazer.

Escolhas	2
Possibilidades	{1, 2}	m	c	d	u

Para as outras casas decimais (unidade, dezena, centena e milhar), a restrição não é tão grande. Basta lembrar que, como o conjunto dos algarismos têm, exatamente, 10 elementos, se um deles é escolhido para a última casa (1 ou 2) sobrarão 9 elementos para escolhermos ({0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ou {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}) para a próxima casa decimal, assim:

Escolhas	2	9
Possibilidades	{1, 2}	m	c	d	u

E esse raciocínio se repete até a primeira casa decimal:

Escolhas	2	9	8	7	6
Possibilidades	{1, 2}	m	c	d	u

Pelo Princípio Multiplicativo, o resultado será o produto de todas as ESCOLHAS possíveis. Então:

2 x 9 x 8 x 7 x 6 = 6048

Portanto, existem 6048 números entre 10.000 e 30.000 que não têm algarismos repetidos.

b) Em quantos números o algarismo 2 aparece, não importando o número de vezes?

Para resolver esse item, você pode usar um raciocínio simples mas eficaz, que é pensar no conjunto de TODOS os números de 5 algarismos (entre 10.000 e 30.000) dividido em dois outros subconjuntos:

NT = conjunto de todos os números entre 10.000 e 30.000

N(2) = conjunto dos números que possuem o algarismo 2

Ñ(2) = conjunto dos números que NÃO possuem o algarismo 2

Dessa forma, podemos escrever o seguinte:

NT = N(2) + Ñ(2)

logo

N(2) = NT – Ñ(2)

Percebeu?

E calcular o total e os números que NÃO têm o algarismo 2 na sua formação é mais fácil do que calcular a quantidade de números que possuem o algarismo 2 na sua formação.

Veja só:

Como o conjunto vai de 10.000 até 30.000, temos, no total, 20.001 números.

Isto também pode ser comprovado pelo Princípio Multiplicativo:

Escolhas	2	10	10	10	10
Possibilidades	{1, 2}	m	c	d	u

Ou seja, temos 20.000 números (2 x 10 x 10 x 10 x 10 = 2 x 10⁴ = 2 x 10.000) que começam com 1 e 2 (do 10.000 até o 29.999) MAIS o número 30.000 (o único que começa com 3).

Para calcularmos a quantidade de números em que o algarismo 2 NÃO aparece, usamos o mesmo raciocínio, através do Princípio Multiplicativo:

Escolhas	1	9	9	9	9
Possibilidades	{1}	m	c	d	u

Note que na última casa decimal só temos UMA possibilidade, já que o algarismo 2 não deve aparecer em nenhuma posição e o ZERO não pode aparecer na última casa decimal (senão o número teria apenas 4 casas decimais, e não 5).

Igualmente, nas outras casas decimais (unidade, dezena, centena e milhar) teremos apenas 9 possibilidades de escolha pelo mesmo motivo: retiramos o 2 do conjunto dos algarismos naturais {0, 1, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}.

Dessa forma, temos um total de 1 x 9⁴ = 6561 números de 5 algarismos que começam com o algarismo 1 tais que o algarismo 2 não aparece em nenhuma casa decimal.

Além disso, como o 30.000 não tem o algarismo 2, temos que somá-lo ao resultado anterior. Logo, temos 6561 + 1 = 6562 números de 5 algarismos onde o algarismo 2 não aparece em nenhuma casa decimal.

Então, retornando ao início do raciocínio, temos que:

N(2) = NT – Ñ(2)

N(2) = 20.001 – 6562

N(2) = 13.439

Portanto, existem 13.439 números de 5 algarismos, entre 10.000 e 30.000, que possuem o algarismo 2 na sua formação, sem considerarmos a quantidade de vezes que ele se repete.

c) Em quantos números o algarismo 2 aparece – exatamente – 3 vezes?

Bom, para esse item, é interessante você pensar em dois subconjuntos de números: os que começam com o algarismo 2 e aqueles que não.

Por quê?

Veja: se o número começa com o 2, então este algarismo deverá se repetir APENAS 2 vezes nas outras casas decimais. Caso contrário (se o número NÃO começar com 2) ele deverá se repetir exatamente 3 vezes. Entendeu?

Então, para resolver isso, usaremos (mais uma vez) o Princípio Multiplicativo, observe:

1º caso: conjunto dos números que começam com o algarismo 2

Escolhas	1	1		9	9
Possibilidades	{2}	{2}	{2}	d	u

Note que eu coloquei mais dois algarismos 2 nas casas da centena e do milhar, porque eles deverão aparecer mais duas vezes.

Nas outras duas casas (unidade e dezena) posso escolher um algarismo para cada casa no conjunto de 9 possibilidades {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} que podem – ou não – se repetir.

Porém, esses dois algarismos 2 não vão – necessariamente – ocupar APENAS as duas casas decimais que eu citei acima. Existem outras possibilidades de combinações para que esses dois algarismos figurem em duas das quatro casas decimais, concorda?

E como fazer isso?

Simples: basta que você use a regra da Combinação Simples para as duas casas decimais “vazias” (unidade e dezena), isto é, a Combinação de 4 elementos tomados 2 a 2.

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Caso você não lembre, aí vai a definição:

Denominamos Combinações Simples de n elementos distintos tomados p a p, com n > p, os subconjuntos formados por p elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Denotamos por C _{n, p} o número total de combinações de n elementos tomados p a p e o calculamos através da expressão:

C _{n, p} = n! / p!(n – p)!

Por exemplo:

No conjunto P = {a,b.c,d} podemos considerar as:

a) combinações de 4 elementos tomados 2 a 2: ab, ac, ad, bc, bd, cd

b) combinações de 4 elementos tomados 3 a 3: abc, abd, acd, bcd

c) combinações de 4 elementos tomados 4 a 4: abcd

***********************************************************************************************

Assim, de volta ao problema, temos:

C_{4, 2} = 4! / 2!(4 – 2)! = 4! / 2!2! = 4 x 3 / 2 x 1= 6

Logo, o resultado nesse caso é calculado da seguinte maneira:

C_{4, 2} x 1 x 9 x 9 = 6 x 81 = 486

Ou seja, existem 486 números em que o algarismo 2 aparece exatamente 3 vezes, e todos começam com o algarismo 2.

2º caso: conjunto dos números que NÃO começam com o algarismo 2

O raciocínio aqui é análogo, modificando apenas a quantidade de casas decimais que estarão ocupadas pelo algarismo 2.

Escolhas	1	1			9
Possibilidades	{1}	{2}	{2}	{2}	u

E a combinação aqui será de 1 em 4:

C_{4, 1} = 4! / 1!(4 – 1)! = 4! / 1!3! = 4 = 4

Logo, o resultado nesse caso é calculado da seguinte maneira:

C_{4, 1} x 1 x 1 x 9 = 4 x 9 = 36

Ou seja, existem 36 números em que o algarismo 2 aparece exatamente 3 vezes, mas nenhum deles começa com o algarismo 2.

Portanto, o resultado final será a soma desses dois resultados encontrados, isto é, existem exatamente 486 + 36 = 522 números de 5 algarismos entre 10.000 e 30.000 tais que o algarismo 2 aparece exatamente 3 vezes.

O texto ficou longo porque, como disse no início, a interpretação nesse tipo de questão é fundamental.

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

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janeiro 8, 2008

Os apertos de mãos

Olá para vocês que passam por aqui. Mesmo que sem querer. 😉

Esse problema dos apertos de mãos eu coloquei em uma prova sobre análise combinatória faz algum tempo.

Resolvi postar aqui porque – além do óbvio e das taças de vinho que já mandei pra dentro – é um quebra-cabeça legal.

Pra quem gosta, claro.

Então vamos lá:

“Numa sala, havia um certo número de pessoas para uma reunião. Todos os presentes se cumprimentaram apertando as mãos. Se foram 66 apertos de mão no total, quantas pessoas haviam na sala?”

A resposta eu coloco depois…

Divirtam-se! 🙂

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Bom, atendendo aos pedidos da solução, aí vai:

Primeiro, para melhorar o raciocínio, pensemos numa quantidade pequena de pessoas em que essa situação ocorra digamos, A, B e C se cumprimentem.

Então, teremos os seguintes cumprimentos (apertos de mão):

A → B e A → C

B → A e B → C

C → A e C → B

E estes são todos os cumprimentos possíveis, certo?

Mas, como vocês podem observar, existem eventos que se repetem, isto é, se A aperta a mão de B, B aperta (simultaneamente) a mão de A, observem:

A → B e A → C

B → A e B → C

C → A e C → B

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janeiro 4, 2008

O desenho multicolorido da Catia

Oi Cátia, tudo bem?

A questão que você enviou é de análise combinatória, especificamente sobre combinação simples. E questões sobre esse assunto são sempre subjetivas, quer dizer: exigem uma boa dose de interpretação do leitor. Vamos lá:

São 10 lápis de cor e um desenho para ser pintado com, no MÍNIMO, 4 cores, certo? Dessa primeira informação (que é a primeira frase do problema) podemos pensar o seguinte: quantos subgrupos diferentes de 4 cores conseguimos formar com aquelas 10 cores?

Observe que o elemento a ser interpretado é o subgrupo de 4 cores e não somente uma cor, por exemplo: as cores azul, vermelho, amarelo e verde formam um subgrupo, isto é, mesmo que as usemos em ordem diferente elas continuam sendo o MESMO subgrupo, entendeu?

Porém, basta que mudemos apenas uma das cores (por exemplo: azul, vermelho, amarelo e laranja) para obtermos um NOVO e diferente subgrupo de 4 cores. Dessa forma, podemos escrever a expressão de combinação simples – C(n,p) = n!/p!(n-p)! – para essa informação, assim:

C(10,4) = 10!/4!(10-4)! = 10!/4!6! = 10.9.8.7.6!/4!6! = 10.9.8.7/4.3.2.1 = 210

E essa seria a resposta caso não houvessem mais informações.

Como podemos usar no MÁXIMO 7 cores, significa que podemos usar – além das 4 cores mínimas necessárias – 5, 6 ou 7 cores. Então devemos raciocinar da mesma maneira, isto é, aplicar a expressão de combinação simples nesses 3 casos. Assim:

C(10,5) = 10!/5!(10-5)! = 10!/5!5! = 10.9.8.7.6.5!/5!5! = 10.9.8.7.6/5.4.3.2.1 = 252

C(10,6) = C(10,4) = 210

C(10,7) = 10!/7!(10-7)! = 10!/7!3! = 10.9.8.7!/7!3! = 10.9.8/3.2.1 = 120

Agora a questão é: o que fazer com esses quatro resultados encontrados?

Dica: em análise combinatória (e em outros assuntos, como probabilidade) as partículas “ou” e “e” têm significado matemático específico em relação às operações adição e produto, observe:

“OU” : operação ADIÇÃO ou UNIÃO – exclusividade (acontece apenas um de cada vez)

“E” : operação PRODUTO ou INTERSEÇÃO – simultaneidade (acontece tudo de uma vez)

Entendeu?

Agora fica fácil decidir o que fazer com os quatro resultados. Pergunte a si mesma o que deve acontecer sobre pintar com, no máximo, 7 lápis de cores diferentes:

“Eu devo pintar com 4 lápis E 5 lápis E 6 lápis E 7 lápis?”

“Eu devo pintar com 4 lápis OU 5 lápis OU 6 lápis OU 7 lápis?”

Espero que você tenha decidido pela segunda frase!

Então, a resposta desse problema é a soma de todos os possíves resultados em se escolher 4, 5, 6 ou 7 lápis em um grupo com 10 lápis. Assim:

C(10,4) + C(10,5) + C(10,6) + C(10,7) = 210 + 252 + 210 + 120 = 792

Portanto, existem 792 maneiras distintas para se pintar o desenho com 4, 5, 6 ou 7 lápis diferentes.

Haja lápis pra fazer 792 desenhos! Coitadas das crianças…

No mais é isso aí.

Abraços.