Arquivo mensal: maio 2008

Fellipe e a dilatação térmica.

Oi Fellipe, tudo bem?

Se bem entendi, a sua dúvida é teórica, certo?

Para que você entenda o conceito da Dilatação Térmica (como qualquer outro), é necessário que você tenha em mente que os conceitos físicos são descritos (e não explicados) e a matemática envolvida no processo serve – em geral – para ratificar o entendimento dos conceitos aprendidos/fixados com relação às soluções encontradas.

Isto é necessário, mas não é suficiente.

Porque isso não elimina o fato de precisarmos ter cuidado com os cálculos que fizermos e, principalmente, com as respostas que encontrarmos.   É preciso analisá-las para nos certificarmos que aquele resultado traduz – de fato – a solução matemática para um determinado problema físico.

Especificamente para o caso da Dilatação Térmica:

Todo corpo sobre a face da terra é composto de moléculas.   E você deve saber (ou pelo menos ouviu falar em aula) que, dependendo do nível de agitação molecular (que se altera de acordo com a quantidade de calor que recebem ou perdem), podemos classificar o corpo em um dos três estados físicos da matéria (sólido, líquido e gasoso), certo?

Pois muito que bem.   Acontece que esse mesmo corpo sobre a face da terra está o tempo todo exposto a variações de temperaturas (como nós).   E isso acontece diariamente (você pode confirmar isso assistindo a qualquer telejornal ou mesmo lendo um jornal, na seção de “Previsão do Tempo”).

A variação de temperatura nada mais é do que a diferença entre a temperatura máxima e a temperatura mínima.

(Lembre que o termo “variação” em física significa a diferença entre os valores final e inicial).

No caso da “Previsão do Tempo”, essa variação é interpretada como a diferença entre “a temperatura máxima provável” e “a temperatura mínima provável“.

Dessa forma, cada vez que um corpo recebe calor (energia) ele aumenta a sua temperatura e, conseqüentemente, as moléculas que o compõe ficam mais agitadas, aumentando o espaço entre elas.   Isso faz com que o “tamanho” daquele corpo aumente.

Esse fenômeno é descrito como Dilatação Térmica.

De forma contrária, cada vez que um corpo perde calor (energia) ele diminui a sua temperatura e, consequentemente, as moléculas que o compõe ficam menos agitadas, diminuindo o espaço entre elas.   Isso faz com que o “tamanho” daquele corpo diminua.

Esse fenômeno é descrito como Contração Térmica.

Agora, como todo corpo é composto de moléculas, temos materiais diversos na natureza (além daqueles transformados pelo homem) que variam de maneira diferente o seu “tamanho” em função da quantidade de calor que recebem (ou perdem).

No inverno, por exemplo, é comum ouvirmos “estalos” nas janelas e/ou portas de madeira quando esses materiais ficam expostos a uma variação de temperatura razoável porque, durante o dia, recebem calor, à noite, perdem calor.   E isso faz com que o material aumente e diminua significativamente suas dimensões durante um período de tempo prolongado a ponto de ouvirmos os tais “estalos“.

E é aí que entra o entendimento do Coeficiente de Dilação Térmica.

O Coeficiente de Dilatação Térmica é um número que nos indica o quanto (em unidades de medida, em geral, metros) um tipo específico de matéria varia suas dimensões a cada grau de temperatura recebido (ou perdido).   Esses valores são, em geral, tabelados.

Por exemplo, o coeficiente de dilatação térmica (linear) do alumínio – por exemplo – vale 2,4 x 10-5 C°-1.

Isto quer dizer o seguinte: 

2,4 x 10-5 = 2,4/105 = 0,000024

Para cada grau Celsius recebido (ou perdido) o alumínio sofre uma variação linear de 0,000024 metros.

Veja, por exemplo, a dúvida do André, no post “André e a dilatação térmica“.

Porém, os formatos dos corpos que são compostos por diferentes materiais também são diferentes.   O que acontece na prática é que uma (ou duas) das três dimensões terá uma variação mais expressiva (maior ou menor) em relação às outras (duas ou três).

Por exemplo, um trilho de trem dilata (ou contrai) mais no sentido do seu comprimento do que propriamente na sua área externa ou no seu volume.   Mas isso não significa que o trilho – como objeto tridimensional – não sofra variação nas suas três dimensões ao ficar exposto a uma variação de temperatura durante um período de tempo.

Por causa disso, é comum, para efeito de estudo, aproximarmos os objetos na dimensão mais conveniente.   Geometricamente falando:

  • Fios de metal, trilhos, tubos de metal (1D)
  • Placas e superfícies de metal (2D)
  • Recipientes de metal – de forma geral, objetos que traduzam “quantidade” –  sólidos ou não (3D)

E aqui você poderia perguntar: “Por que só exemplo de coisas de metal?”

Simples.   Porque os metais são bons condutores de energia, ao contrário dos isolantes (térmicos).

Essa classificação geométrica é que nos fornece a classificação atual no estudo da Dilatação Térmica dos Sólidos.

  •  Linear: significa apenas em uma das três dimensões (comprimento ou largura ou altura) sofrerá variação no tamanho da dimensão específica.

 

  • Superficial: significa que apenas duas das três dimensões (comprimento e largura ou comprimento e altura ou largura e altura) sofrerão variação em seus tamanhos, variando, portanto, sua área.

 

  • Volumétrica: significa que as três dimensões (comprimento e largura e altura) sofrerão variação em seus tamanhos, variando, portanto, o volume.

E, até aqui, temos a descrição do fenômeno.

Agora, entender matematicamente tudo isso significa entender a seguinte igualdade:

  •  variação nas medidas = medida inicial x coeficiente de dilatação térmica x variação de temperatura

Por quê?

Porque – na verdade – a expressão matemática da “fórmula” é análoga para os três casos que, como disse antes, são separados para facilitar o estudo.

Por isso as fórmulas para a dilatação térmica dos sólidos são:

  1. ΔL = Lo x α x ΔT     (Linear)
  2. ΔS = So x β x ΔT     (Superficial)
  3. ΔV = Vo x γ x ΔT     (Volumétrica)

Por fim, devido a essa classificação geométrica, foi possível estabelecer uma relação entre os coeficientes de dilatação térmica:

 β = 2α

e

γ = 3α

Mas não esqueça: na realidade, nós estudamos “modelos“, na realidade todo e qualquer objeto sofre o fenômeno da dilatação (ou contração) térmica de forma volumétrica.

Espero que tenha ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

Os selos da Regina

Oi Regina, tudo bem?

A questão que você tem dúvida é sobre sistema de equações do 1º grau, só que na forma de um problema.

Como já disse em outras soluções, a maior dificuldade de entendimento para que se possa começar a resolver é a interpretação da situação e a devida tradução do “português” para o “matematiquês“.

Então vamos lá.

Veja, se numa turma foram distribuídos 5 selos para cada aluno, então se multiplicarmos o número de alunos (n) por 5 teremos o número de selos (s) que foram distribuídos, concorda?

Assim:

5n = s

Da mesma forma, se em outra turma, com 31 alunos a mais que a anterior (n + 31) foram distribuídos 2 selos para cada alunos e ainda sobra um selo, podemos calcular o número de selos multiplicando o número de alunos (n + 31) por 2 e somando 1 (que é o selo que sobra), concorda?

Assim:

2(n +31) + 1 = s

Observe que obtemos 2 equações onde s (número de selos) aparece isolado.   Isto significa que ambas as equações são iguais, isto é: 

2(n +31) + 1 = 5n

2n + 62 + 1 = 5n

63 = 5n – 2n

3n = 63

n = 21

 Quer dizer que em uma turma têm 21 alunos e na outra 21 + 31 =  52 alunos, certo?

Mas queremos determinar o número de selos.   Simples, basta substituir o valor de n em uma das duas equações acima.

Assim:

5n = s

5(21) = s

s = 105

  

Então, foram distribuídos 105 selos.

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

 

Ops!!! Errei…

É pessoal, de vez em quando eu erro, embora alguns achem que não.

Então, quero agradecer ao Bras Cubas (não sei se o nome é real ou apenas um pseudônimo, mas foi assim que a pessoa se identificou) por mostrar a solução correta, (mais) simples e objetiva, retificando àquela que postei em “As férias chuvosas da Midian“.

Parei com calma para refazer a questão e prestar atenção no que postei como solução. Conclui (graças ao aviso do Bras) que a minha solução está – de fato – errada.

Abaixo, a solução enviada pelo Bras, conforme ele mesmo postou:

“Olá! Creio que vc deva rever sua resolução desse exercício. O gabarito e outros colegas dizem que a resposta é 9. Postarei, adiante, minha resolução

n = número de dias
Mc = Manhã chuvosa
Ms =6 = Manhã seca
Tc = tarde chuvosa
Ts = 5= tarde seca

quando chove de manhã não chove à tarde: isso quer dizer que nunca choverá de manhã e à tarde, num mesmo dia.

1ª Mc + Tc = 7
2ª Ms + Mc = n
3ª Ts + Tc = n

Lembrando que Ts = 5 e Ms = 6, fica fácil de se resolver o sistema acima. Somam-se as equações 2ª e 3ª e fazem-se as substutuições necessárias.

Mc + Tc + Ms + Ts = 2n
7 + 6 + 5 =2n
18 = 2n
n = 9 (resposta)”

Ao Bras e às demais pessoas que me ajudam a perceber essas falhas, meu muito obrigado!

Aos alunos que sempre passam por aqui à procura de auxílio, minhas sinceras desculpas e minha promessa de que – a partir de agora – tentarei sempre revisar minhas soluções.

Aliás, isso me lembra um ditado bastante conhecido: “a pressa é inimiga da perfeição“.

Ainda não excluí o post “As férias chuvosas da Midian”. Penso em fazer uma observação sobre a solução e inserir um link para cá, para que outras pessoas não gravem a solução errada.

O que vocês acham?

Mais uma vez obrigado.

No mais é isso aí.

Abraços pra todo mundo.

Margareth e as questões da prova dos correios.

Oi Margareth, tudo bem?

Seguinte: como você postou – de cara – 4 questões (e todas as quatro envolvendo regra de três simples), vou escrever as respectivas soluções exatamente na mesma ordem e com a mesma numeração, ok?

Primeiro, você deve lembrar que a tal “Regra de Três Simples”, na verdade, pode (e deve) ser entendida como uma proporção, isto é, uma relação que envolve – em geral – duas grandezas e 4 valores.

Essa proporção será sempre uma igualdade de duas razões (= frações), assim:

a/b = c/d 

A leitura da igualdade acima é: “a está para b assim com c está para d“.

Da igualdade acima, vale outra igualdade, conhecida como “produto dos meios pelos extremos” ou, se preferir, a famosa “multiplicação em xis“, isto é:

a.d = c.b 

Outra: as duas frações envolvidas são chamadas também de Frações Equivalentes porque o resultado será sempre o mesmo, por exemplo:

4/2 = 8/4 = 20/10 = 24/12 = 100/50

(notou que todas as frações dão resultado igual a 2?)

E isto é o mínimo para que você não se perca nesse tipo de problema.

Então vamos lá.

36) Para resolver esse problema, basta que você “arme” a proporção corretamente, observe:

(x + 4)/(x + 6) = 5/8

(x + 4).8 = 5.(x + 6)

8x + 32 = 5x + 30

8x – 5x  = 30 – 32

3x = -2

x = -2/3

 38 ) Esse problema segue o mesmo  raciocínio, veja só:

3/460 = 3,6/x

3x = 3,6.460

3x = 1656

x = 1656/3

x = 552 cm³

39) Nesse aqui, existe o detalhe do “desconto” no pagamento à vista.   Então, a diferença entre o valor a prazo e o valor à vista corresponde ao desconto dado, certo?   Logo,

1280 – 960 = 320

Agora, basta aplicarmos o mesmo raciocínio para determinarmos qual o percentual que 320 corresponde de 1280.   Veja:

1280/320 = 100%/x%

1280x = 32000

x = 32000/1280

x = 25%

40) Nessa questão, basta você lembrar da expressão para juros simples, que é

j = c.i.t

onde j = juros, c = capital, i = taxa (na forma decimal) e t = tempo

Assim, substiuindo os valores dados no enunciado da questão:

34,72 = 620.0.008.t

34,72 = 4,96t

t = 34,72/4,96

t = 7 meses

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

O fio de alumínio da Maria

Oi Maria, tudo bem?

A dúvida que você enviou por e-mail foi essa:

“Boa Tarde, Prof. Marcos.
 Gostaria de obter sua ajuda, no cálculo abaixo. Se não for incomodar-lhe.
 O comprimento de um fio de alumínio é de 25M a uma temperatura de 20º C.  Calcule a sua dilatação linear quando aquecemos o fio até 60ºC.  O coeficiente de dilatação linear do alumínio é 24 X 10 -6 ºC.
Obrigada pela atenção.”

Maria, esse problema é simples porque trata de uma aplicação direta da fórmula de dilatação linear (dos sólidos), que é a seguinte: 

ΔL = Lo x α x ΔT 

Então, retiramos do enunciado do problema as informações necessárias:

 Lo = 25 metros (comprimento inicial do fio)

To = 20°C (temperatura inicial do fio)

T = 60°C (temperatura final do fio)

αalumínio = 24 x 10-6 °C-1  (coeficiente de dilatação linear do fio)

ΔL = ? (ΔL = L – Lo  = variação do comprimento do fio – é o que desejamos calcular, certo?)

Observe que, dos dados acima, já podemos calcular a variação de temperatura (ΔT) ocorrida: 

ΔT = T – To

ΔT = 60 – 20

ΔT = 40°C 

Agora, é só substituir na fórmula da dilatação linear os dados que temos, veja só: 

ΔL = Lo x α x ΔT

ΔL = 25 x 24 x 10-6 x 40

ΔL = 600 x 10-6 x 40

ΔL = 24000 x 10-6

ΔL = 24 x 103 x 10-6

ΔL = 24 x 10-3

ou

ΔL = 0,024 

Assim, a dilatação ocorrida no fio de alumínio, quando ele sofre um aumento de temperatura de 20°C até 60°C é de 0,024 metros.

Entendeu?

Obs.: Sugiro que você – se estiver com tempo – leia também a solução da dúvida do André, que trata do mesmo assunto.  (Para ler, clique aqui).

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

A viagem da Caroline

Oi Caroline, tudo bem?

Esse problema que você tem dúvida se torna simples quando interpretado corretamente do “português” para o “matematiquês“.

“Mas o problema não é de Física?” – você poderia perguntar.   Sim, é.   Mas o conceito físico envolvido no problema (velocidade média no movimento uniforme) é simples.

Para que você compreenda melhor, vou chamar de “v” a velocidade média e de “t“, o tempo gasto no percurso.

Além disso, você não pode esquecer que a definição de velocidade média é o quociente entre a variação das posições (de um móvel) pela variação de tempo (gasto no percurso), isto é: 

v = ΔS/Δt 

Então vamos lá. 

“Um automóvel viajando em determinada velocidade média completou um percurso de 360km em t horas.“ 

Então,

v = 360/t     (eq. 1)

 “Caso essa velocidade fosse aumentada em 30km/h a viagem teria durado uma hora a menos.“ 

Então, 

v + 30 = 360/(t-1)     (eq. 2)

 Observe que as duas equações acima formam um sistema do 1° grau de duas variáveis (no caso, incógnitas – v e t) e, para resolvê-lo, basta substituir a 1ª equação na 2ª. 

Assim: 

360/t + 30 = 360/(t-1)

(360 + 30t)/t = 360/(t-1)

(360 + 30t)(t-1) = 360t

360t – 360 + 30t² – 30t = 360t

30t² – 30t – 360 = 0

(÷30)

t² – t – 12 = 0 

E a equação quadrática encontrada possui raízes iguais a -3 e 4 (verifique!) sendo que, o valor negativo não traduz significado físico para o problema (em outras palavras: não “existe” tempo negativo).

Portanto, o valor procurado é t = 4h, ou seja, a viagem durou 4 horas. 

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

O terreno do Sérgio

Oi Sérgio, tudo bem?

A sua dúvida enviada por e-mail foi:

“Professor, estou estudando para concursos e estou com dificuldades de resolver a seguinte questão:

2)Um terreno retangular, cujas medidas dos lados estão na razão de 1 para 3, tem 1200 m2 de área. Logo o perímetro desse terreno é igual a quantos metros?

Se puder me ajudar agradeço.

Sérgio”

Bom, vamos lá.

Na verdade, esse problema é bem simples, observe:

Para calcularmos o perímetro (que é a soma de todos os lados do terreno que, felizmente, é retangular) precisamos das medidas dos lados consecutivos (a largura e o comprimento do terreno).

Como são dadas a medida da área do terreno e a proporção entre os lados consecutivos, isto é, estão na razão de 1 para 3, podemos montar a solução do problema.

Vamos chamar de x o comprimento e y a largura do terreno, certo?

Então, pela proporção dada

x/y = 3/1

x = 3y

Sabemos também que a área do terreno vale 1200m², e a expressão da área para o retângulo é o produto da base pela altura (ou simplesmente o produto das medidas dos lados consecutivos).   Assim, podemos escrever que

Área do terreno = 1200

x.y = 1200

3y.y = 1200

3y² = 1200

y² = 400

y = 20

Então a largura do terreno mede 20 metros.

De forma análoga,

x = 3y

x = 3.20

x = 60

Portanto, o comprimento do terreno mede 60 metros.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

O blog está desatualizado…

… é verdade, mas não é à toa.

Devido ao acúmulo das minhas atividades pedagógicas “oficiais” e à atualização do wordpress, deixei um pouco as atividades “oficiosas” – como este blog – um pouco de lado.

Por isso, peço desculpas aos alunos virtuais que ainda aguardam alguma resposta comentada das dúvidas postadas até o momento.

Mas prometo que, tão logo seja possível, postarei as soluções comentadas aqui.

Agora, para aqueles que têm (ou tinham…) prazo para recebê-las…

Inté.