radicais | Marco Castro

A Tattyana enviou sua dúvida por e-mail. Vamos lá:

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“Será que posso te perguntar aqui? rs
Te achei pelo site!
Vamos a pergunta..

Como se resolve a soma de dois números diferentes tendo como expoentes frações de denominadores diferentes?
Tipo esse:

2^(1/3) + 5^(3/5)

A mesma pergunta se for subtração.
Sei fazer essas contas na calculadora, o problema é quanto a fazer na mão… por isso queria ajuda.
Obrigada!”

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Oi Tattyana, tudo bem?

A sua dúvida consiste simplesmente em lembrar das propriedades das potências e dos radicais.

A regra geral para adição (e subtração) de radicais é que eles possuam o mesmo índice e o mesmo radicando.

Além disso, você deve lembrar que toda potência que tenha expoente fracionário é, na verdade, um radical.

A propriedade que deve ser lembrada nesses casos é a seguinte:

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$

Dessa forma, podemos pensar na expressão dada

$2^{\frac{1}{3}}+5^{\frac{3}{5}}$

Reescrita segundo a propriedade acima:

$\sqrt[3]{2^{1}}+\sqrt[5]{5^{3}}$

Para continuar com esse cálculo, precisamos “comparar” ambos os radicais de forma que possamos efetuar essa adição que, do jeito que está, não é possível.

Porém, da mesma maneira que usamos o MMC para reduzir denominadores distintos (e não-nulos) de frações distintas para efetuarmos cálculos de adição (e subtração), usamos uma propriedade dos radicais que lembra muito essa técnica. Observe:

$\sqrt[n]{a^{m}}=\sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}}$

Esta propriedade nos garante que um número p pode ser multiplicado (ou dividido) simultaneamente no índice e no expoente do radicando sem que o radical original tenha o seu valor alterado.

Isto equivale a encontrar dois números distintos p e q tais que quando multiplicados pelos respectivos índices dos radicais, tenham o mesmo produto, isto é:

$3p = 5q = k$

Nesse caso, o número k é divisível simultaneamente por 3 e 5, ou seja:

$k = MMC(3, 5) = 15$

Agora ficou fácil, porque conseguimos, com esse raciocínio, determinar os valores para p e q:

$p = 5$ e $q = 3$

Então, podemos dar prosseguimento ao cálculo:

$\sqrt[3]{2^{1}}+\sqrt[5]{5^{3}}=\sqrt[3 \cdot 5]{2^{1 \cdot 5}}+\sqrt[5 \cdot 3]{5^{3 \cdot 3}} =\sqrt[15]{2^{5}} + \sqrt[15]{5^{9}}$

Observe que o resultado encontrado não pode ser escrito como um único radical. Isto porque, embora o índice das raízes seja o mesmo, os seus radicandos não são.

Além disso, os radicandos já estão fatorados e seus expoentes são menores do que o índice das raízes, isto é, não é possível retirar nenhum fator de dentro dos radicais.

Portanto,

$2^{\frac{1}{3}}+5^{\frac{3}{5}} = \sqrt[15]{2^{5}} + \sqrt[15]{5^{9}}$

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

Oi Thesca, tudo bem?

Se entendi bem a sua dúvida, a expressão que você descreveu é essa:

$\sqrt[9]{\frac{2^{28} \cdot 2^{30}}{10}}$

Nesse caso, o que pode ser feito é uma simplificação das potências de base 2, assim:

$\sqrt[9]{\frac{2^{28} \cdot 2^{30}}{10}}$

Aplicando a propriedade para produto de potências de mesma base: “repete-se a base e somam-se os expoentes”.

$\sqrt[9]{\frac{2^{27} \cdot 2^{1} \cdot 2^{27} \cdot 2^{3}}{2 \cdot 5}}$

Pois:

$2^{28} = 2^{27} \cdot 2^1$ e $2^{30} = 2^{27} \cdot 2^3$

Observe que existe o produto de duas potências iguais ( $2^{27}$ ), logo podemos escrevê-la elevada ao quadrado, como segue:

$\sqrt[9]{\frac{2^{27^{2}} \cdot 2^{1} \cdot 2^{3}}{2 \cdot 5}}$

Agora, além de simplificar os fatores 2 (no numerador e no denominador) podemos retirar do radical a potência $2^{27}$ , pois:

$2^{27^{2}} = 2^{2^{27}} = 2^{2^{3^{9}}} = 2^{(2 \cdot 3)^{9}} = 2^{6^{9}}$

Portanto

$2^6 \cdot \sqrt[9]{\frac{2^3}{5}}$

E, por fim

$64 \cdot \sqrt[9]{\frac{8}{5}}$

Bom, apesar do atraso (grande inclusive, me desculpe…) na postagem da solução, está aí o passo-a-passo que você solicitou.

Agora, com relação a “que ocasião é usada uma conta dessas?”… (risos)

Eu diria que depende. Depende da situação, é claro. Em situações práticas (cotidianas) é muito provável que você não chegue nem próximo de algo parecido.

Em geral – para o aluno – serve para desenvolver as habilidades dentro de certo assunto porquê, à medida que os exercícios apresentam um nível de dificuldade maior, nós – professores(as) – esperamos que o aluno procure relacionar o conteúdo aprendido com a pesquisa e prática necessárias para resolver questões mais complexas.

Porém, para os alunos que desejarem seguir alguma carreira ligada às Ciências Exatas (Matemática, Física, Engenharia, Arquitetura, Computação, etc.) terá, em várias situações que “encarar” continhas como essa aí de cima.

Mesmo que tal conta não tenha – aparentemente – nenhum propósito.

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais: