Paulo e o Break Even Point

Oi Paulo, tudo bem?

A dúvida que você apresenta é simples de ser respondida se você tiver bem assimilado os conceitos financeiros básicos (como custo, venda, lucro, desconto, receita e despesa) e a teoria de função linear ou do 1º grau.

Vamos lá.

Primeiro, lembre que o conceito básico entre custo (C), venda (V) e lucro (L) é dado por

V = L + C

Assim, torna-se simples escrever as funções do exercício que você tem dúvida. Vamos lá.

Os dados fornecidos são:

Custo unitário de produção (Cup) – R$ 5,00

Custo fixo associado à produção (Cfp) – R$ 30,00

Preço de Venda (V) – R$ 6,50

Note que com essas informações já podemos determinar o lucro (L) na venda de uma unidade do produto:

V = L + C

6,50 = L + 5,00

L = 6,50 – 5,00

L = 1,50

De forma análoga escrevemos as funções pedidas, veja:

a) a função custo total

O custo total é a soma de todos os custos. Nesse caso temos:

Custo fixo associado à produção (Cfp) – R$ 30,00

Custo unitário de produção (Cup) – R$ 5,00

Observe que o valor de Cup é proporcional à quantidade, isto é:

1 unidade  – Cup(1) = 1 x R$ 5,00 = R$ 5,00

2 unidades – Cup(2) = 2 x R$ 5,00 = R$ 10,00

3 unidades – Cup(3) = 3 x R$ 5,00 = R$ 15,00

4 unidades – Cup(4) = 4 x R$ 5,00 = R$ 20,00

.

.

.

q unidades – Ct(q) = q x R$ 5,00 = R$ 5q

Então, a função custo total (Ct) para produzir q unidades do produto é dada por

Ct(q) = Cup(q) + Cfp

Ct(q) = 5q + 30

b) A função receita total

A receita total (Rt) é a soma de todas as receitas. Nesse caso, temos:

Preço de Venda (V) – R$ 6,50

Analogamente, o valor V é proporcional à quantidade q , isto é:

1 unidades  – V(1) = 1 x R$ 6,50 = R$ 6,50

2 unidades – V(2) = 2 x R$ 6,50 = R$ 13,00

3 unidades – V(3) = 3 x R$ 6,50 = R$ 19,50

4 unidades – V(4) = 4 x R$ 6,50 = R$ 26,00

.

.

.

q unidades – V(q) = q x R$ 6,50 = R$ 6,50q

Então, a função receita total (Rt) que informa a receita da venda de q unidades do produto é dada por

Rt(q) = V(q)

Rt(q) = 6,50q

c) A função lucro total (Lt)

Como V = C + L, podemos expressar o lucro (L) como a diferença L = V – C.

Além disso, como V = Rt e C = Ct, podemos escrever a função lucro total como a diferença das funções receita total e custo total, assim:

Lt = Rt – Ct

Que em função do número q de unidades produzidas/vendidas fica:

Lt(q) = Rt(q) – Ct(q)

Lt(q) = 6,50q – (5q + 30)

Lt(q) = 6,50q – 5q – 30

Lt(q) = 1,50q – 30

d) O Break Even Point (BEP)

O Break Even Point (BEP) é o ponto de equilíbrio entre receitas e despesas, isto é, quando o total de receitas é igual ao total de custos e – claro – o lucro é nulo.

Desse modo, encontrar o BEP significa encontrar o valor de q que é a solução da expressão

Lt(q) = 0

1,50q – 30 = 0

1,50q = 30

q = 30/1,50

q = 300/15

q = 20

Note que a expressão Lt(q) = 0 é equivalente à expressão Rt(q) = Ct(q).

Esta última pode ser interpretada geometricamente sendo o ponto de interseção entre as retas Rt(q) e Ct(q). (veja no esquema)

e) a produção necessária para um lucro de R$ 120,00

Aqui queremos determinar a quantidade q de produtos que geram um lucro de R$ 120,00.   Mais uma vez usaremos a função lucro total que, agora, queremos que assuma o valor 120, ou seja:

Lt(q) = 120

1,50q – 30 = 120

1,50q = 120 + 30

q = 150/1,50

q = 1500/15

q = 100

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

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William e o preço de venda

Oi William, tudo bem?

A dúvida que você enviou não é tão difícil assim.

Na verdade, acredito que a interpretação do enunciado do problema ofereça mais dificuldade para iniciar a sua resolução.

Vejamos:

O lucro bruto (LB) é igual à diferença entre o preço de venda (PV) e o preço de compra (PC). Podemos escrever essa igualdade – matematicamente – do mesmo jeito que a lemos, veja:

(1) LB = PV – PC

Além disso, esse mesmo lucro bruto (LB) deverá corresponder a 40% do preço de venda (PV), ou seja:

(2) LB = 40% de PV

Observe que formamos duas equações (1) e (2) com uma parcela comum (LB).

Dessa forma, podemos substituir a equação (2) na equação (1). Assim:

LB = PV – PC

40% de PV = PV – PC

PC = PV – 40% de PV

PC = 100% de PV – 40% de PV

PC = 60% de PV

PC = 0,6PV

PV = PC/0,6

Como é dado o valor da compra, isto é, PC = R$ 750,00, substituimos esse valor na última igualdade para determinar o preço de venda procurado:

PV = 750/0,6

PV = 1250

Ou seja, o preço de venda de cada unidade deverá ser de R$ 1250,00.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Para Saber Mais:

Flávio e os tributos dos combustíveis

Oi Flávio, tudo bem?

A dificuldade dessa questão que você postou é subjetiva, isto é, depende mais de quem lê do que propriamente de cálculos, embora o assunto principal seja porcentagem.

Vamos lá:

Vou chamar os preços da gasolina de g e o preço do diesel de d, SEM TRIBUTOS, ok?

Então, vamos pensar e analisar um pouco a situação:

Se os tributos que incidem sobre os preços da gasolina e do diesel valem, respectivamente, 50% e 26%, significa que os preços de VENDA da gasolina (Vg) e do diesel (Vd) equivalem ao preço de custo MAIS os tributos, certo?

Assim:

Vg = g + 50%g = 100%g + 50%g = 150%g

e

Vd = d + 26%d = 100%d + 26%d = 126%d

 

E por que pensar nisso?

Ora, porque se o foram vendidos X reais de gasolina e Y reais de diesel, esses dois valores equivalem ao preço de venda de cada combustível VEZES a quantidade de combustível (Q), não concorda?

Assim:

X = Vg x Qg

e

Y = Vd x Qd

Mas note o seguinte:

X = Vg x Qg

X = (g + 50%g) x Qg

X = g x Qg + 50%g x Qg

e

Y = Vd x Qd

Y = (d + 26%d) x Qd

Y = d x Qd + 26%d x Qd

Percebeu que em ambos os cálculos os tributos incidem sobre a quantidade de combustível (Q)?

E, embora isto pareça sem importância é exatamente o ponto principal de entendimento para que se possa traduzir o problema do português para o “matematiquês“.

Como é dito no enunciado da questão que 44% do valor (X + Y) devem corresponder ao total de tributos arrecadados, podemos – agora – escrever a seguinte igualdade:

50%X + 26%Y = 44%(X + Y)

0,50X + 0,26%Y = 0,44(X + Y)

0,50X + 0,26Y = 0,44X + 0,44Y

0,50X – 0,44X = 0,44Y – 0,26Y

0,06X = 0,18Y

X/Y = 0,18/0,06

X/Y = 18/6

X/Y = 3

X = 3Y

Ou seja, a relação procurada entre X e Y é X = 3Y, e isto significa que o posto vendeu 3 vezes mais gasolina do que diesel.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

O aumento de salário do Santiago

Oi Santiago, tudo bem?

Esse é um problema de comparação e, para resolvê-lo, basta que você lembre um pouco de porcentagem (básica, mesmo) e o interprete corretamente.

Em geral a interpretação do enunciado de um problema é fundamental para que você consiga desenvolver e escrever (bem) o seu raciocínio.

Mas, vamos ao que interessa.

Primeiro, vamos estabelecer “nomes” para esse problema, observe:

S = folha de pagamentos

n = número de funcionários

s = salário de um funcionário

Ora, quanto se paga a TODOS os funcionários?   Simples: o valor de um salário (s) vezes o número de funcionários (n), concorda?

Quer dizer, esse valor é – exatamente – o valor da folha de pagamentos, e pode ser descrito de forma matemática através da igualdade:

S = n x s (eq. 1)

Mantendo o mesmo raciocínio, vamos analisar as próximas informações como feito acima.

s’ = novo salário

S’ = nova folha de pagamentos

m = número de funcionários que não foram dispensados

Perceba que a nova folha de pagamentos (S’) corresponde à folha de pagamento (S) anterior aumentada de 10% e o número de funcionários que não foram dispensados (m) corresponde ao número de funcionários (n) anterior reduzido de 20%.

Matematicamente, podemos representá-los pelas seguintes igualdades:

S’ = S + 10% de S = S + 0,1S = 1,1S (eq. 2)

m = n – 20% de n = n – 0,2n = 0,8n (eq. 3)

Note que podemos escrever S’ da mesma que forma que escrevemos S (eq. 1):

S’ = m x s’

Agora, basta que façamos as devidas substituições, veja:

S’ = m x s’

1,1S = 0,8n x s’

s’ = 1,1S / 0,8n

s’ = 1,1(n x s) / 0,8n

(simplificamos o “n”)

s’ = 1,1s / 0,8 = (11s/10) / 10/8

s’ = (11s/10) x (8/10)

s’ = 11s/8

s’ = 1,375s

Para escrever esse valor na forma percentual, basta multiplicá-lo e dividi-lo por 100, assim:

s’ = 1,375s

s’ = 1,375s x 100 / 100

s’ = 137,5s / 100

s’ = 137,5%s

Mas, e agora? O que fazer com o resultado encontrado para s’?

Simples.   O novo salário não é igual ao salário antigo mais um aumento (a) ?

Então, vamos escrever isso:

s’ = s + a

a = s’ – s

Ou seja, para determinarmos o aumento (a), basta que façamos a subtração do novo salário pelo anterior, como escrito acima:

a = s’ – s

a = 137,5%s -s

a = 137,5%s -100%s

a = 37,5%s

Portanto, o salário dos funcionários sofreu uma variação de 37,5%, entendeu?

Aliás, um aumento muito bom para os dias de hoje.   Mas aposto como ainda teve funcionário insatisfeito, funcionário que procurou o sindicato, essas coisas…

No mais é isso aí.