Raphael e os números menores que 30.000

Olá Raphael, tudo bem?

A dúvida que você postou é simples e faz parte do conteúdo Princípio Fundamental da Contagem (PFC).

Vamos lá.

Primeiro, observe que os números que são (estritamente) menores que 30.000 começam com os algarismos 1 ou 2, certo?

Além disso, queremos que esses números tenham (exatamente) 5 algarismos distintos (diferentes) entre si, ou seja, sem repetição dos algarismos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, dado no enunciado da questão.

E como fazer isso?

Simples.

Vamos separar e estudar os dois casos possíveis e analisar o resultado.

1. Números de 5 algarismos distintos que começam com o algarismo 2:

2 ? ? ? ?

Observe que onde aparecem os sinais de interrogação, estão as casas onde o subconjunto de algarismos {1, 3, 4, 5, 6} poderão aparecer em qualquer ordem, com exceção do algarismo 2, que está fixo, uma vez que estamos analisando os números (com algarismos distintos) maiores que 20.000 e menores que 30.000.

Então, pelo PFC, podemos pensar nas “escolhas” dos números para as 4 casas decimais após o algarismo 2, assim:

• para a 1ª casa (após o algarismo 2) podemos escolher um dos cinco algarismos do subconjunto {1, 3, 4, 5, 6};
• para a 2ª casa (após a casa do algarismo escolhido anteriormente) podemos escolher um dos quatro algarismos restantes (note que não escreverei mais os algarismos porque o raciocínio independe do algarismo escolhido e porque queremos que nenhum algarismo se repita).

O processo é recursivo, isto é, repetimos até o final.

Dessa forma, podemos escrever o produto das possibilidades das escolhas por casa decimal:

2 ? ? ? ?

2 5 x   4 x    3 x    2

Fazendo as contas, temos que o resultado do produto acima (5 x 4 x 3 x 2) é igual a 120, certo?

2. Números de 5 algarismos distintos que começam com o algarismo 1:

Note que todo o raciocínio é análogo:

1 ? ? ? ?

1 5 x 4 x 3 x 2

E obtemos o mesmo resultado: 120 números.

O resultado final será a soma dos resultados encontrados:

120 + 120 = 240

Portanto, 240 números de 5 algarismos distintos e menores que 30.000.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Para Saber Mais:

• Marco Castro
• Wikipédia
• Numa Boa
• Professor Paulo Cezar Pinto Carvalho (IME)

Os apertos de mãos

Olá para vocês que passam por aqui.    Mesmo que sem querer. 😉

Esse problema dos apertos de mãos eu coloquei em uma prova sobre análise combinatória faz algum tempo.

Resolvi postar aqui porque – além do óbvio e das taças de vinho que já mandei pra dentro – é um quebra-cabeça legal.

Pra quem gosta, claro.

Então vamos lá:

“Numa sala, havia um certo número de pessoas para uma reunião.   Todos os presentes se cumprimentaram apertando as mãos.   Se foram 66 apertos de mão no total, quantas pessoas haviam na sala?”

A resposta eu coloco depois…

Divirtam-se! 🙂

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Bom, atendendo aos pedidos da solução, aí vai:

Primeiro, para melhorar o raciocínio, pensemos numa quantidade pequena de pessoas em que essa situação ocorra digamos, A, B e C se cumprimentem.

Então, teremos os seguintes cumprimentos (apertos de mão):

 A → B e A → C

B → A e B → C

C → A e C → B

E estes são todos os cumprimentos possíveis, certo?

Mas, como vocês podem observar, existem eventos que se repetem, isto é, se A aperta a mão de B, B aperta (simultaneamente) a mão de A, observem:

 A → B e A → C

B → A e B → C

C → A e C → B

 

 

O desenho multicolorido da Catia

Oi Cátia, tudo bem?

A questão que você enviou é de análise combinatória, especificamente sobre combinação simples.   E questões sobre esse assunto são sempre subjetivas, quer dizer: exigem uma boa dose de interpretação do leitor.   Vamos lá:

São 10 lápis de cor e um desenho para ser pintado com, no MÍNIMO, 4 cores, certo?   Dessa primeira informação (que é a primeira frase do problema) podemos pensar o seguinte: quantos subgrupos diferentes de 4 cores conseguimos formar com aquelas 10 cores?

Observe que o elemento a ser interpretado é o subgrupo de 4 cores e não somente uma cor, por exemplo: as cores azul, vermelho, amarelo e verde formam um subgrupo, isto é, mesmo que as usemos em ordem diferente elas continuam sendo o MESMO subgrupo, entendeu?

Porém, basta que mudemos apenas uma das cores (por exemplo: azul, vermelho, amarelo e laranja) para obtermos um NOVO e diferente subgrupo de 4 cores.   Dessa forma, podemos escrever a expressão de combinação simples – C(n,p) = n!/p!(n-p)! – para essa informação, assim:

C(10,4) = 10!/4!(10-4)! = 10!/4!6! = 10.9.8.7.6!/4!6! = 10.9.8.7/4.3.2.1 = 210

E essa seria a resposta caso não houvessem mais informações.

Como podemos usar no MÁXIMO 7 cores, significa que podemos usar – além das 4 cores mínimas necessárias – 5, 6 ou 7 cores.   Então devemos raciocinar da mesma maneira, isto é, aplicar a expressão de combinação simples nesses 3 casos.    Assim:

C(10,5) = 10!/5!(10-5)! = 10!/5!5! = 10.9.8.7.6.5!/5!5! = 10.9.8.7.6/5.4.3.2.1 = 252

C(10,6) = C(10,4)  = 210

C(10,7) = 10!/7!(10-7)! = 10!/7!3! = 10.9.8.7!/7!3! = 10.9.8/3.2.1 = 120

Agora a questão é: o que fazer com esses quatro resultados encontrados?

Dica: em análise combinatória (e em outros assuntos, como probabilidade) as partículas “ou” e “e” têm significado matemático específico em relação às operações adição e produto, observe:

“OU” : operação ADIÇÃO ou UNIÃO – exclusividade (acontece apenas um de cada vez)

“E” : operação PRODUTO ou INTERSEÇÃO – simultaneidade (acontece tudo de uma vez)

Entendeu?

Agora fica fácil decidir o que fazer com os quatro resultados.   Pergunte a si mesma o que deve acontecer sobre pintar com, no máximo, 7 lápis de cores diferentes:

“Eu devo pintar com  4 lápis E 5 lápis E 6 lápis E 7 lápis?”

ou

“Eu devo pintar com  4 lápis OU 5 lápis OU 6 lápis OU 7 lápis?”

Espero que você tenha decidido pela segunda frase!

Então, a resposta desse problema é a soma de todos os possíves resultados em se escolher 4, 5, 6 ou 7 lápis  em um grupo com 10 lápis.   Assim:

C(10,4) + C(10,5) + C(10,6) + C(10,7) = 210 + 252 + 210 + 120 = 792

Portanto, existem 792 maneiras distintas para se pintar o desenho com 4, 5, 6 ou 7 lápis diferentes.

Haja lápis pra fazer 792 desenhos! Coitadas das crianças…

No mais é isso aí.

Abraços.