Paulo e o Break Even Point

Oi Paulo, tudo bem?

A dúvida que você apresenta é simples de ser respondida se você tiver bem assimilado os conceitos financeiros básicos (como custo, venda, lucro, desconto, receita e despesa) e a teoria de função linear ou do 1º grau.

Vamos lá.

Primeiro, lembre que o conceito básico entre custo (C), venda (V) e lucro (L) é dado por

V = L + C

Assim, torna-se simples escrever as funções do exercício que você tem dúvida. Vamos lá.

Os dados fornecidos são:

Custo unitário de produção (Cup) – R$ 5,00

Custo fixo associado à produção (Cfp) – R$ 30,00

Preço de Venda (V) – R$ 6,50

Note que com essas informações já podemos determinar o lucro (L) na venda de uma unidade do produto:

V = L + C

6,50 = L + 5,00

L = 6,50 – 5,00

L = 1,50

De forma análoga escrevemos as funções pedidas, veja:

a) a função custo total

O custo total é a soma de todos os custos. Nesse caso temos:

Custo fixo associado à produção (Cfp) – R$ 30,00

Custo unitário de produção (Cup) – R$ 5,00

Observe que o valor de Cup é proporcional à quantidade, isto é:

1 unidade  – Cup(1) = 1 x R$ 5,00 = R$ 5,00

2 unidades – Cup(2) = 2 x R$ 5,00 = R$ 10,00

3 unidades – Cup(3) = 3 x R$ 5,00 = R$ 15,00

4 unidades – Cup(4) = 4 x R$ 5,00 = R$ 20,00

.

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q unidades – Ct(q) = q x R$ 5,00 = R$ 5q

Então, a função custo total (Ct) para produzir q unidades do produto é dada por

Ct(q) = Cup(q) + Cfp

Ct(q) = 5q + 30

b) A função receita total

A receita total (Rt) é a soma de todas as receitas. Nesse caso, temos:

Preço de Venda (V) – R$ 6,50

Analogamente, o valor V é proporcional à quantidade q , isto é:

1 unidades  – V(1) = 1 x R$ 6,50 = R$ 6,50

2 unidades – V(2) = 2 x R$ 6,50 = R$ 13,00

3 unidades – V(3) = 3 x R$ 6,50 = R$ 19,50

4 unidades – V(4) = 4 x R$ 6,50 = R$ 26,00

.

.

.

q unidades – V(q) = q x R$ 6,50 = R$ 6,50q

Então, a função receita total (Rt) que informa a receita da venda de q unidades do produto é dada por

Rt(q) = V(q)

Rt(q) = 6,50q

c) A função lucro total (Lt)

Como V = C + L, podemos expressar o lucro (L) como a diferença L = V – C.

Além disso, como V = Rt e C = Ct, podemos escrever a função lucro total como a diferença das funções receita total e custo total, assim:

Lt = Rt – Ct

Que em função do número q de unidades produzidas/vendidas fica:

Lt(q) = Rt(q) – Ct(q)

Lt(q) = 6,50q – (5q + 30)

Lt(q) = 6,50q – 5q – 30

Lt(q) = 1,50q – 30

d) O Break Even Point (BEP)

O Break Even Point (BEP) é o ponto de equilíbrio entre receitas e despesas, isto é, quando o total de receitas é igual ao total de custos e – claro – o lucro é nulo.

Desse modo, encontrar o BEP significa encontrar o valor de q que é a solução da expressão

Lt(q) = 0

1,50q – 30 = 0

1,50q = 30

q = 30/1,50

q = 300/15

q = 20

Note que a expressão Lt(q) = 0 é equivalente à expressão Rt(q) = Ct(q).

Esta última pode ser interpretada geometricamente sendo o ponto de interseção entre as retas Rt(q) e Ct(q). (veja no esquema)

e) a produção necessária para um lucro de R$ 120,00

Aqui queremos determinar a quantidade q de produtos que geram um lucro de R$ 120,00.   Mais uma vez usaremos a função lucro total que, agora, queremos que assuma o valor 120, ou seja:

Lt(q) = 120

1,50q – 30 = 120

1,50q = 120 + 30

q = 150/1,50

q = 1500/15

q = 100

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

• Uma nova revisão sobre custos de produção
• Fundamentos do Ponto de Equilíbrio
• Conceito de Break Even Point

Vitor e a função que gera PA

Oi Vitor, tudo bem?

Essa questão que você postou é bem legal.

Vamos lá:

Como a seqüência dada é uma PA de razão igual a 2 (r = 2) e primeiro termo igual a 1 (a₁ = 1) podemos facilmente escrever alguns termos dessa PA, observe:

(a₁, a₂, a₃, a₄, …) = (1, 3, 5, 7, …)

Por outro lado, a função f(x) = ax + b que é dada, gera uma outra PA, cuja razão vale 6 (r = 6) e o primeiro termo vale 4 (f(a₁₎ = 4) e cujos termos são as imagens dos termos (a₁, a₂, a₃, a₄, …) quando aplicados na função, conforme foi dado:

[f(a₁), f(a₂), f(a₃), f(a₄), …] = (4, 10, 16, 22, …)

E tudo estaria resolvido caso os valores dos coeficientes a e b da função fossem conhecidos, concorda?

Então, basicamente, devemos determinar os valores dos coeficientes a e b para que possamos escrever a função e calcular o valor de f(2).

E como fazer isso?

Simples, veja só:

Como a₁ = 1, então f(a₁) = f(1) = 4 e, substituindo essas informações na expressão da função, teremos:

f(x) = ax + b

f(a₁) = a(a₁) + b

f(1) = a(1) + b = a + b e f(1) = 4

logo

a + b = 4 (eq.1)

Novamente, como a₂ = 3, então f(a₂) = f(3) = 10 e, substituindo essas informações na expressão da função, teremos:

f(x) = ax + b

f(a₂) = a(a₂) + b

f(3) = a(3) + b = 3a + b e f(3) = 10

logo

3a + b = 10 (eq.2)

Ora, obtivemos duas equações em que os parâmetros a e b são comuns portanto, basta resolver esse sistema que encontraremos os seus valores, observe:

a + b = 4 (eq.1)

3a + b = 10 (eq.2)

Da (eq.1), podemos escrever que:

a + b = 4 => b = 4 – a

substituindo na (eq.2), temos:

3a + 4 – a = 10

2a = 6

a = 3

Retornando com o valor de a na (eq.1), temos:

3 + b = 4

b = 1

Agora ficou fácil, não é mesmo?

Basta substituir os valores de a e b na função e calcular o valor de f(2), observe:

f(x) = ax + b

f(x) = 3x + 1

Portanto, o valor de f(2) será:

f(x) = 3x + 1

f(2) = 3(2) + 1

f(2) = 6 + 1

f(2) = 7

Nesse caso, se você marcou a opção (b), se deu bem. 🙂

No mais é isso aí.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

• Wikipédia
• Professor Cardy
• Algo Sobre Vestibular

A função horária da Fernanda

Oi Fernanda, tudo bem?

De fato, como você mesma escreveu, essa questão é muito fácil de resolver.   Mas, para que você também acredite que é fácil, terá que praticar,  pensando por si mesma.   Pode crer, é o melhor caminho para você entender essa parte da cinemática.

Vamos lá então.

Primeiro, vamos entender a equação do movimento, também conhecida como Função Horária dos Espaços para o Movimento Uniforme, que é dada por:

S = S₀ + v.t

Matematicamente falando, por se tratar de uma função do tempo, você deve lembrar sempre que esse tipo de expressão (matemática) deve relacionar duas (ou mais) grandezas.

Nesse caso, a função horária dos espaços relaciona duas grandezas: tempo e posição, que são representadas pelas letras t (tempo) e S (posição).

E as letras S₀ e v representam números.   Isso mesmo, números.   Mas especificamente, o valor da posição inicial e o valor da velocidade.

Agora, é apenas uma questão de comparar a função na sua forma geral com a função dada no problema, observe:

S = S₀ + v.t

S = -21 + 3t

Notou que as “letras” S e t aparecem nas duas expressões?   Pois é, porque elas são as variáveis da função, quer dizer, podem variar os seus valores: cada vez que t muda de valor, obtemos um novo valor para S, entendeu?

Então, apenas com uma simples observação, você pode concluir que o número 3 corresponde ao valor da velocidade e o número -21 corresponde ao valor da posição inicial.   Simples, não?

Note que, com isso, você já determinou as respostas dos itens (a) e (c) do exercício.

Determinar a posição em relação a um tempo específico também é fácil.  Basta substituir o valor do tempo na função.

Então, para t = 4, teremos:

S = -21 + 3t

S = -21 + 3.4

S = -21 + 12

S = -9

Este resultado informa que, passados 4 segundos, o móvel terá se deslocado e estará exatamente na posição -9 metros, ou seja, 9 metros ANTES da posição zero.   E essa é a resposta do item (b).

Agora, o contrário também acontece: conhecer o valor de uma posição específica e determinar o valor do tempo que o móvel gastou para chegar até ela, a partir de uma posição inicial, claro.

E isso é pedido no item (d): determinar o instante de tempo t em que o móvel se encontra na posição S = 12 metros.

Na verdade, o raciocínio é o mesmo!   Basta substitui na expressão do movimento o valor de S e calcular o valor de t, observe:

S = -21 + 3t

12 = -21 + 3t

12 + 21 = 3t

33 = 3t

t = 33/3

t = 11

Portanto, 11 segundos.

De forma análoga, determinar o instante de tempo t em que o móvel passa pela ORIGEM, é calcular o valor de t sempre que S for zero!

Assim:

S = -21 + 3t

0 = -21 + 3t

21 = 3t

t = 21/3

t = 7

Portanto, 7 segundos.

Entendeu?

Dica: não tente decorar os cálculos simplesmente, tente entender a situação descrita fisicamente que os cálculos ficarão óbvios.

Para Saber Mais:

• Wikipédia: cinemática
• Feira de Ciências
• Física.net
• Google