setembro 30, 2008

As gotas do Fábio

Oi Fábio, tudo bem?

A dúvida que você postou trata de um tópico da Física chamado Queda Livre, cuja análise é feita de maneira análoga ao Movimento Univformemente Variado (MUV).

Só que na vertical, claro… 😉

Para resolver esse problema, você deve entender bem a situação física para, então, efetuar os devidos cálculos utilizando as devidas “ferramentas”, que são as fórmulas matemáticas.

Vamos lá.

Temos uma torneira que está exatamente a 1,0 metro do solo e que pinga 3 gotas a cada minuto.

É bom lembrar que esta situação representa um modelo de estudo, para que possamos considerar que as 3 gotas tenham a mesma massa.

Vamos analisar a situação:

G1, G2 e G3 são as três gotas consecutivas que pingam durante o intervalo de 3 minutos.

Para determinarmos a velocidade com que uma gota (no caso a primeira, G1) atinge o solo, precisamos usar a Função Horária da Velocidade para o movimento em Queda Livre.

E qual é essa fórmula?

Observe:

Na verdade, o movimento em Queda Livre tem características simples que facilitam a análise.

A velocidade inicial é nula, isto é:

V₀ = 0 m/s

E a gravidade (que aqui aproximarei o valor para 10,0 m/s²) é a única aceleração atuante na variação da velocidade da gota, ou seja, à medida que a gota cai, sua velocidade aumenta (até atingir o solo).

Agora é preciso lembrar da Função Horária da Velocidade (para o MUV HORIZONTAL) :

V(t) = V₀ + at

Onde:

V(t) = velocidade no tempo “t”;

V₀= velocidade inicial (em m/s);

a = aceleração (em m/s²);

t = tempo (em segundos)

Comparando essa expressão de um movimento (acelerado) horizontal com a situação dada (movimento acelerado vertical), podemos concluir que:

V(t) = velocidade no tempo “t”;

V₀= 0 m/s (zero ou nula, já que a gota está “parada” dentro do cano antes de cair);

a = g (aceleração da gravidade; com g < 0);

t = tempo (em segundos)

E, nesse caso, a Função Horária da Velocidade (para um movimento acelerado vertical) pode ser escrita como:

V(t) = gt

E o problema estaria resolvido se soubéssemos o valor de “t”, isto é, quanto tempo uma gota (no caso a primeira, G1) gasta para atingir o solo. Isto significa que precisamos calcular esse tempo primeiro.

Para isso, podemos utilizar a Função Horária dos Espaços (para o MUV), que fornece a posição do móvel em função do tempo. A expressão básica para essa função é:

S(t) = S₀ + V₀t + at²/2

Analogamente, podemos fazer a análise comparativa com o movimento de Queda Livre, para encontrarmos a expressão:

H(t) = H₀ + gt²/2

Note que H(t) representa a distância percorrida (no caso, altura) em função do tempo “t”. O valor da gravidade “g”, deverá ser negativo, por ter sinal contrário ao da trajetória (positiva, de baixo para cima).

Então:

H(t) = H₀ + gt²/2

0 = 1,0 + (-10)t²/2

1,0 = 5t²

t² = 1/5

t = √5/5

ou, aproximadamente,

t = 0,45 seg

Uma vez determinado o tempo que uma gota leva para cair 1,0 metro, podemos determinar com que velocidade ela atinge o solo usando a Função Horária da Velocidade:

V(t) = gt

V = (-10) x √5/5

V = -2√5 m/s

ou, aproximadamente,

V = – 4,5 m/s

Observe que o sinal da velocidade é negativo. Ele (o sinal negativo) apenas indica que o sentido do movimento é contrário ao sentido da trajetória estabelecida (positiva, de baixo para cima).

Agora, para determinarmos o intervalo de de tempo (Δt) que separa a batida de duas gotas no solo, basta um pouco mais de atenção à situação.

Observe:

A situação-problema pode ser descrita através da seguinte seqüência:

···Δt → G1 → Δt → G2 → Δt → G3 →Δt···

1. cai a primeira gota (G1)

···Δt → G1

2. após um intervalo de tempo (Δt) cai a segunda gota (G2)

···Δt → G1 → Δt → G2

3. após um intervalo de tempo (Δt) cai a terceira gota (G3)

··Δt → G1 → Δt → G2 → Δt → G3

Considerando o modelo da situação-problema, vamos supor que não haja nenhum tipo de atrito ou fator que possa modificar o tempo com que cada gota cai, ou seja, as 3 gotas gastam o mesmo tempo para atingir o solo e o intervalo de tempo (Δt) entre a primeira gota (G1) e a segunda (G2) e a segunda (G2) e a terceira (G3) são iguais.

Na verdade, quando a terceira gota (G3) atinge o solo o tempo alcança a marca dos 3 minutos porque a razão dada no enunciado do problema é exatamente esta: 3 gotas/min.

Isto significa que após a terceira gota (G3) ter atingir o solo e decorrer o mesmo intervalo de tempo (Δt) entre as gotas, o “pinga-pinga” recomeça.

Concorda?

Então, através de uma igualdade simples podemos determinar o intervalo de tempo que separa as batidas de duas gotas consecutivas no solo.

Veja:

Se somarmos todos os tempos (que as gotas gastam para atingir o solo mais o intervalo entre elas) teremos um total de 3 minutos.

Observe novamente a seqüência descrita acima com os respectivos tempos inseridos no contexto:

cai a primeira gota (G1) → tempo de queda: t = 0,45s
após um intervalo de tempo (Δt) cai a segunda gota (G2) → tempo de queda: t = 0,45s
após um intervalo de tempo (Δt) cai a terceira gota (G3) → tempo de queda: t = 0,45s

Assim, podemos escrever a seguinte igualdade:

tempo de queda gasto pela G1 + tempo entre G1 e G2 + tempo de queda gasto pela G2 + tempo entre G2 e G3 + tempo de queda gasto pela G3 = 3 minutos

0,45 + Δt + 0,45 + Δt + 0,45 = 3 minutos

3 x 0,45 +2Δt = 3 x 60 = 180 segundos

2Δt = 180 – 1,35

2Δt = 178,65

Δt = 178,65/2

Δt = 89,325 segundos

ou, aproximadamente,

Δt = 1,49 minutos

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Para Saber Mais:

Postado em Física - Dúvidas Comentadas
Com a tag função horária da velocidade, função horária dos espaços, queda livre
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setembro 26, 2008

Matemática Prática

Olá para todos!

Quero registrar a visita do Professor Homero Loureiro, que mantém um excelente site sobre Matemática para concursos públicos, o Matemática Prática (já devidamente “linkado” na barra lateral à direita na seção “Recomendo”).

Fico muito feliz e honrado em saber que um profissional do nível do Professor Homero visita e elogia este blogue.

O Matemática Prática é um Portal para concursos públicos onde o Professor Homero divulga e oferece material específico de altíssima qualidade para os diversos concursos públicos realizados no País.

Lá você encontrará dicas, macetes, bizús sobre resoluções de questões diversas, de assuntos e complexidades variados ligados à matemática, além de poder adquirir DVD’s, Vídeo Aulas e Apostilas especialmente e especificamente elaborados para os “concurseiros“.

Como o próprio Professor Homero descreve em sua página inicial:

“Espero que “matemática prática” venha despertar nas pessoas um interesse maior pela matemática. As dicas e macetes aos quais terás acesso irão demonstrar que a matemática é muito menos complicada do que a maioria das pessoas acham. Iremos também colocá-lo a par dos editais de abertura para os diversos concursos públicos do país, bem como questões resolvidas de provas de concursos anteriores”.

Um forte abraço para todos.

Marco Castro.

Para Saber Mais:

Matemática Prática

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Com a tag matemática para concursos
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setembro 9, 2008

Pedro e os jovens que saíram de férias

Oi Pedro, tudo bem?

A dúvida que você postou não é tão difícil. Trata-se de mais um daqueles problemas onde é preciso montar um Sistema de Equações para resolvê-lo. Nesse caso, um Sistema de Equações do 1° grau.

Vamos lá.

O grupo é composto de 40 jovens no total, entre rapazes (x) e moças (y). Então, podemos escrever a 1ª equação do problema:

$x+y=40$

Além disso, sabe-se que a despesa total foi de R$ 2.400,00 e que seria dividida por todos os jovens. Então, podemos determinar o valor que cada jovem pagaria, certo?

$\frac{2.400,00}{40}=60,00$

Ou seja, cada jovem pagaria R$ 60,00 pela viagem de férias.

Porém, um acordo foi feito e ficou decidido que as moças não pagariam sua parte. E isto fez com que a parte dos rapazes (que era de R$ 60,00) aumentasse mais R$ 80,00. Com esta informação, podemos montar a 2ª equação do problema:

$\frac{2.400,00}{x}=60,00+80,00=140,00$

$x= \frac{2.400,00}{140,00}$

$x= \frac{120}{7}$

E aqui nós temos um resultado que não traduz significado coerente ao problema, uma vez que o conjunto “quantidade de pessoas” possui um número inteiro de elementos.

Note que para determinar a solução desejada, bastava substituir o número de rapazes (x) na 1ª equação que encontraríamos o número de moças.

Mas, uma vez que o resultado obtido foi fracionário, não podemos afirmar muita coisa. A menos que fosse feita uma aproximação para o resultado. Mas esse não é o procedimento correto em problemas desse tipo.

Mesmo assim, para que a solução não fique incompleta, vou terminá-la normalmente, mas lembre-se de que o resultado para o número de moças (y) também será fracionário.

Continuando então.

Uma vez determinado o número de rapazes ( $x= \frac{120}{7}$ ), substituimos esse valor na 1ª equação. Então:

$x+y=40$

$\frac{120}{7}+y=40$

$y=40- \frac{120}{7}$

$y= \frac{40 \cdot 7-120}{7}$

$y= \frac{280-120}{7}$

$y= \frac{160}{7}$

Portanto, o número de moças seria igual a $\frac{160}{7}$ .

Note que uma aproximação possível pode ser considerada ao efetuarmos ambos os quocientes ( $\frac{120}{7}$ e $\frac{160}{7}$ ), no qual teríamos:

$x= \frac{120}{7}$ ≈ $17$

$y= \frac{160}{7}$ ≈ $23$

Mas, como disse antes, isso não deveria acontecer…

Entendeu?

Espero ter ajudado!

Para Saber Mais:

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Com a tag equações do 1° grau, sistema de equações do 1º grau
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setembro 9, 2008

Os problemas do filho da Deusiany

A Deusiany enviou sua dúvida por e-mail. Vamos lá:

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“Prof. Marco, tenho um filho de 12 anos e estou pirando com tantos problemas para ajudá-lo a entender, conto com sua ajuda !

Obrigada, Deusiany

1)Pensei em um numero. Dividi-o por 3 e acrescentei 4 ao resultado. A seguir, dividi o novo resultado por 10 e então encontrei o resultado final 1. Qual o numero em que pensei ?

2) um comerciante, no final do ano, distribuiu parte de seu lucro entre seus três sócios. O primeiro recebeu 2/5 da parte do lucro mais R$ 5000,00; o segundo recebeu 3/7 da parte do lucro mais R$ 7000,00; o terceiro recebeu R$ 9000,00.qual parte do lucro distribuído?

Deusiany Gaudart “

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Oi Deusiany, tudo bem?

Os problemas que geraram dúvidas para o seu filho fazem parte do assunto Equações e Problemas do 1º grau.

Para resolvê-los você precisa – basicamente – interpretá-los corretamente de maneira que ao reescrevê-los matematicamente, seja possível resolver a equação formada, obtendo assim a solução procurada.

Então, para o 1º problema, podemos pensar o seguinte:

1. Pensei em um número:

$n$

2. Dividi esse número por 3:

$\frac{n}{3}$

3. Acrescentei 4 ao resultado:

$\frac{n}{3} + 4$

4. Divido o (novo) resultado por 10:

$\frac{\frac{n}{3}+4}{10}$

5. O resultado final é igual a 1:

$\frac{\frac{n}{3}+4}{10}=1$

Notou que encontramos uma equação do 1º grau?

Agora basta resolvê-la. Observe:

$\frac{\frac{n}{3}+4}{10}=1$

$\frac{n}{3}+4=10$

$\frac{n}{3}=10-4$

$n=6 \cdot 3$

$n=18$

Simples, não?

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Já para o 2º problema, você deve observar que as partes do lucro que aparecem no problema são dadas ao 1º e 2º funcionários apenas, isto é, 2/5 e 3/7 do lucro, respectivamente.

Então, a parte do lucro (L) que fora distribuída corresponde exatamente à soma dessas duas partes apenas.

Observe:

$\frac{2L}{5}+ \frac{3L}{7}= \frac{14L+15L}{35}= \frac{29L}{35}$

Portanto, foi distribuído 29/35 do lucro.

Agora, uma observação: em geral esse tipo de problema fornece algum dado de referência para que possamos determinar valores numéricos. Nesse caso, se viesse dito no enunciado que o “lucro total” fora distribuído (ao invés de “parte” dele) conseguiríamos determinar uma solução numérica para o problema (e não literal e em função do parâmetro “L”).

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

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Com a tag Equações, equações do 1° grau, problemas do 1° grau
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setembro 3, 2008

Tattyana e a adição de radicais

A Tattyana enviou sua dúvida por e-mail. Vamos lá:

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“Será que posso te perguntar aqui? rs
Te achei pelo site!
Vamos a pergunta..

Como se resolve a soma de dois números diferentes tendo como expoentes frações de denominadores diferentes?
Tipo esse:

2^(1/3) + 5^(3/5)

A mesma pergunta se for subtração.
Sei fazer essas contas na calculadora, o problema é quanto a fazer na mão… por isso queria ajuda.
Obrigada!”

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Oi Tattyana, tudo bem?

A sua dúvida consiste simplesmente em lembrar das propriedades das potências e dos radicais.

A regra geral para adição (e subtração) de radicais é que eles possuam o mesmo índice e o mesmo radicando.

Além disso, você deve lembrar que toda potência que tenha expoente fracionário é, na verdade, um radical.

A propriedade que deve ser lembrada nesses casos é a seguinte:

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$

Dessa forma, podemos pensar na expressão dada

$2^{\frac{1}{3}}+5^{\frac{3}{5}}$

Reescrita segundo a propriedade acima:

$\sqrt[3]{2^{1}}+\sqrt[5]{5^{3}}$

Para continuar com esse cálculo, precisamos “comparar” ambos os radicais de forma que possamos efetuar essa adição que, do jeito que está, não é possível.

Porém, da mesma maneira que usamos o MMC para reduzir denominadores distintos (e não-nulos) de frações distintas para efetuarmos cálculos de adição (e subtração), usamos uma propriedade dos radicais que lembra muito essa técnica. Observe:

$\sqrt[n]{a^{m}}=\sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}}$

Esta propriedade nos garante que um número p pode ser multiplicado (ou dividido) simultaneamente no índice e no expoente do radicando sem que o radical original tenha o seu valor alterado.

Isto equivale a encontrar dois números distintos p e q tais que quando multiplicados pelos respectivos índices dos radicais, tenham o mesmo produto, isto é:

$3p = 5q = k$

Nesse caso, o número k é divisível simultaneamente por 3 e 5, ou seja:

$k = MMC(3, 5) = 15$

Agora ficou fácil, porque conseguimos, com esse raciocínio, determinar os valores para p e q:

$p = 5$ e $q = 3$

Então, podemos dar prosseguimento ao cálculo:

$\sqrt[3]{2^{1}}+\sqrt[5]{5^{3}}=\sqrt[3 \cdot 5]{2^{1 \cdot 5}}+\sqrt[5 \cdot 3]{5^{3 \cdot 3}} =\sqrt[15]{2^{5}} + \sqrt[15]{5^{9}}$

Observe que o resultado encontrado não pode ser escrito como um único radical. Isto porque, embora o índice das raízes seja o mesmo, os seus radicandos não são.

Além disso, os radicandos já estão fatorados e seus expoentes são menores do que o índice das raízes, isto é, não é possível retirar nenhum fator de dentro dos radicais.

Portanto,

$2^{\frac{1}{3}}+5^{\frac{3}{5}} = \sqrt[15]{2^{5}} + \sqrt[15]{5^{9}}$

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

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setembro 1, 2008

Eliana e as áreas dos triângulos variáveis

A Eliana enviou sua dúvida por e-mail. Então, vamos lá:

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“Professor Castro, estou fazendo faculdade a distância em licenciatura em computação, mas não estou conseguindo resolver este problema, mesmo com a explicação do professor, se você puder me dar uma explicação agradeço.

Abraços

Eliana”

UNIDADE – 2 – Grandezas Diretas e Inversas – Funções

Atividades

Utilizando os conhecimentos adquiridos com o estudo da unidade 2, com o aplicativo Excel no estudo de funções, responda às perguntas e construa o gráfico da situação-problema.

Veja que o retângulo a seguir tem lados CD=AB=8 e CA=BD=4. Portanto, considere um ponto P, cuja posição varia do ponto A até o ponto B. Denomine a distância de A até P, ou seja, denomine a distância de X e construa o gráfico que represente a área dos triângulos ADP ( figura sombreada ) obtidos o ponto P varia de A até B.
                                                        x
                                             A                 p                    B

C D

Figura 1 Área do triângulo.

1. Qual é o valor máximo e mínimo da área do triângulo ADP?

2. Que nome recebe essa função?

É uma grandeza direta ou inversamente proporcional? Justifique sua resposta.

4. Qual é a expressão matemática para essa função?

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Oi Eliana, tudo bem?

Esse problema não é dos mais complicados não. Basta que você faça uma associação recorrente entre conceitos básicos da geometria e de funções lineares.

Para um melhor entendimento, eu inverti o desenho. Observe que o triângulo DBP (preto) cuja base mede x está destacado propositalmente.

A área de um triângulo vale a metade do produto da Base (b) pela Altura (h) relativa a essa mesma base, e sua expressão é dada por:

Área = (Base x Altura)/2

No problema em questão, o triângulo formado dependerá sempre da posição do ponto P que pode se deslocar sobre o segmento AB (note que a figura está invertida para que melhore a visualização do(s) triângulo(s)).

Dessa forma, os possíveis triângulos de vértices DBP terão as medidas das bases PB todas distintas, isto é:

m(PB) = x

Observe que assim, os possíveis valores para x serão tais que 0 < x < 8, isto é, quando:

P = B → m(PB) = 0

P = A → m(PB) = m(AB) = 8

Além disso, como o lado DB do triângulo será sempre fixo, uma vez que se trata da diagonal do retângulo, todos os triângulos formados serão retos em A. E isto implica que o lado AD do retângulo equivale à altura de todos os triângulos DBP, que também será fixa e cuja medida vale 4 (em azul).

Após esta análise, podemos pensar na expressão da função que representa a área desses triângulos, já que à medida que variamos x, a medida da área também varia, veja só:

A(x) = (b.h)/2

A(x) = (4.x)/2

A(x) = 2x

Note que agora, podemos estabelecer os limites – máximo e mínimo – para as medidas das áreas:

P = B => x = 0 => A(x) = 2.0 = 0

P = A => x = 8 => A(x) = 2.8 = 16

Ou seja:

0 < A(x) < 16

E o gráfico da função A(x) = 2x é uma reta crescente que passa pela origem do Plano Cartesiano. Para esboçar esse gráfico precisamos de dois pontos dessa reta, o que não é problema, pois esses pontos já foram calculados anteriormente, veja só:

A(0, 0) e B(8, 16)

Portanto, o gráfico pedido no problema será: