Vitor e a combinação simples condicional

Oi Vitor, tudo bem?

Essa questão – de fato – é de combinação, como você mesmo afirmou.E também tem uma condição – bem explícita por sinal – que é a presença de um elemento (a2) em todos os grupos de 5 elementos que podem ser formados dentre todos os 8 elementos dados (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8).

Ora, vamos pensar um pouco:

Se não houvesse essa condição, o problema seria bem simples, não concorda?

Calcular quantos grupos de 5 elementos podemos formar com 8 elementos é, simplesmente, efetuar o cálculo da Combinação Simples de 8 elementos tomados 5 a 5, certo?

Mas nesse caso, devemos encontrar o total de subgrupos que possuam, necessariamente o a2 em todos eles, assim:)

Escolhas (lugares)

Fixo

Qualquer um dos 7 Qualquer um dos 7 Qualquer um dos 7 Qualquer um dos 7

Possibilidades

(a2)

(a1, a3, a4, a5, a6, a7, a8)

(a1, a3, a4, a5, a6, a7, a8)

(a1, a3, a4, a5, a6, a7, a8)

(a1, a3, a4, a5, a6, a7, a8)

Observe que dos 5 lugares, um deles será sempre fixo, ocupado pelo elemento a2.

Então, o que fazer?

Simples. Como sobram exatamente 7 elementos no grupo de 8 elementos ao excluirmos o elemento a2 e sobram exatamente 4 lugares em cada subgrupo de 5 lugares ao excluirmos o elemento a2, devemos efetuar a Combinação Simples dos 7 elementos tomados 4 a 4, cujo resultado será o número total de subgrupos nos quais o elemento a2 estará presente, entendeu?

Assim:

C7, 4 = 7! / 4!(7 – 4)!

C7, 4 = 7! / 4!3!

C7, 4 = 7 x 6 x 5 / 3 x 2

C7, 4 = 7 x 5

C7, 4 = 35

Ou seja, existem exatamente 35 possibilidades de formarmos grupos com 5 elementos escolhidos entre 8 elementos nos quais o elemento a2 sempre estará presente.

Outra: é possível resolver essa questão de outra maneira, pensando em dividir o total de grupos de 5 elementos (NT) em dois subgrupos: os que contém o a2 (N(a2)) e os que não contém o (Ñ(a2)), ou seja

NT = N(a2) + Ñ(a2)

N(a2) = + Ñ(a2) – NT

E aí, basta determinar o valor de Ñ(a2) e NT para obtermos o (mesmo) resultado para N(a2), entendeu?

Tente resolver dessa outra forma para estimular seu raciocínio.

No mais é isso aí.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

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O desenho multicolorido da Catia

Oi Cátia, tudo bem?

A questão que você enviou é de análise combinatória, especificamente sobre combinação simples.   E questões sobre esse assunto são sempre subjetivas, quer dizer: exigem uma boa dose de interpretação do leitor.   Vamos lá:

São 10 lápis de cor e um desenho para ser pintado com, no MÍNIMO, 4 cores, certo?   Dessa primeira informação (que é a primeira frase do problema) podemos pensar o seguinte: quantos subgrupos diferentes de 4 cores conseguimos formar com aquelas 10 cores?

Observe que o elemento a ser interpretado é o subgrupo de 4 cores e não somente uma cor, por exemplo: as cores azul, vermelho, amarelo e verde formam um subgrupo, isto é, mesmo que as usemos em ordem diferente elas continuam sendo o MESMO subgrupo, entendeu?

Porém, basta que mudemos apenas uma das cores (por exemplo: azul, vermelho, amarelo e laranja) para obtermos um NOVO e diferente subgrupo de 4 cores.   Dessa forma, podemos escrever a expressão de combinação simples – C(n,p) = n!/p!(n-p)! – para essa informação, assim:

C(10,4) = 10!/4!(10-4)! = 10!/4!6! = 10.9.8.7.6!/4!6! = 10.9.8.7/4.3.2.1 = 210

E essa seria a resposta caso não houvessem mais informações.

Como podemos usar no MÁXIMO 7 cores, significa que podemos usar – além das 4 cores mínimas necessárias – 5, 6 ou 7 cores.   Então devemos raciocinar da mesma maneira, isto é, aplicar a expressão de combinação simples nesses 3 casos.    Assim:

C(10,5) = 10!/5!(10-5)! = 10!/5!5! = 10.9.8.7.6.5!/5!5! = 10.9.8.7.6/5.4.3.2.1 = 252

C(10,6) = C(10,4)  = 210

C(10,7) = 10!/7!(10-7)! = 10!/7!3! = 10.9.8.7!/7!3! = 10.9.8/3.2.1 = 120

Agora a questão é: o que fazer com esses quatro resultados encontrados?

Dica: em análise combinatória (e em outros assuntos, como probabilidade) as partículas “ou” e “e” têm significado matemático específico em relação às operações adição e produto, observe:

OU” : operação ADIÇÃO ou UNIÃO – exclusividade (acontece apenas um de cada vez)

E” : operação PRODUTO ou INTERSEÇÃO – simultaneidade (acontece tudo de uma vez)

Entendeu?

Agora fica fácil decidir o que fazer com os quatro resultados.   Pergunte a si mesma o que deve acontecer sobre pintar com, no máximo, 7 lápis de cores diferentes:

“Eu devo pintar com  4 lápis E 5 lápis E 6 lápis E 7 lápis?”

ou

“Eu devo pintar com  4 lápis OU 5 lápis OU 6 lápis OU 7 lápis?”

Espero que você tenha decidido pela segunda frase!

Então, a resposta desse problema é a soma de todos os possíves resultados em se escolher 4, 5, 6 ou 7 lápis  em um grupo com 10 lápis.   Assim:

C(10,4) + C(10,5) + C(10,6) + C(10,7) = 210 + 252 + 210 + 120 = 792

Portanto, existem 792 maneiras distintas para se pintar o desenho com 4, 5, 6 ou 7 lápis diferentes.

Haja lápis pra fazer 792 desenhos! Coitadas das crianças…

No mais é isso aí.

Abraços.