combinação simples | Marco Castro

Oi Vitor, tudo bem?

Essa questão – de fato – é de combinação, como você mesmo afirmou.E também tem uma condição – bem explícita por sinal – que é a presença de um elemento (a₂) em todos os grupos de 5 elementos que podem ser formados dentre todos os 8 elementos dados (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a₈).

Ora, vamos pensar um pouco:

Se não houvesse essa condição, o problema seria bem simples, não concorda?

Calcular quantos grupos de 5 elementos podemos formar com 8 elementos é, simplesmente, efetuar o cálculo da Combinação Simples de 8 elementos tomados 5 a 5, certo?

Mas nesse caso, devemos encontrar o total de subgrupos que possuam, necessariamente o a₂em todos eles, assim:)

Escolhas (lugares)	Fixo	Qualquer um dos 7	Qualquer um dos 7	Qualquer um dos 7	Qualquer um dos 7
Possibilidades	(a₂)	(a₁, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a8)	(a₁, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a8)	(a₁, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a8)	(a₁, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a8)

Observe que dos 5 lugares, um deles será sempre fixo, ocupado pelo elemento a_2.

Então, o que fazer?

Simples. Como sobram exatamente 7 elementos no grupo de 8 elementos ao excluirmos o elemento a₂ e sobram exatamente 4 lugares em cada subgrupo de 5 lugares ao excluirmos o elemento a₂, devemos efetuar a Combinação Simples dos 7 elementos tomados 4 a 4, cujo resultado será o número total de subgrupos nos quais o elemento a₂ estará presente, entendeu?

Assim:

C_{7, 4} = 7! / 4!(7 – 4)!

C_{7, 4} = 7! / 4!3!

C_{7, 4} = 7 x 6 x 5 / 3 x 2

C_{7, 4} = 7 x 5

C_{7, 4} = 35

Ou seja, existem exatamente 35 possibilidades de formarmos grupos com 5 elementos escolhidos entre 8 elementos nos quais o elemento a₂ sempre estará presente.

Outra: é possível resolver essa questão de outra maneira, pensando em dividir o total de grupos de 5 elementos (NT) em dois subgrupos: os que contém o a₂ (N(a₂)) e os que não contém o (Ñ(a₂)), ou seja

NT = N(a₂) + Ñ(a₂)

N(a₂) = + Ñ(a₂) – NT

E aí, basta determinar o valor de Ñ(a₂) e NT para obtermos o (mesmo) resultado para N(a₂), entendeu?

Tente resolver dessa outra forma para estimular seu raciocínio.

No mais é isso aí.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

Oi Cátia, tudo bem?

A questão que você enviou é de análise combinatória, especificamente sobre combinação simples. E questões sobre esse assunto são sempre subjetivas, quer dizer: exigem uma boa dose de interpretação do leitor. Vamos lá:

São 10 lápis de cor e um desenho para ser pintado com, no MÍNIMO, 4 cores, certo? Dessa primeira informação (que é a primeira frase do problema) podemos pensar o seguinte: quantos subgrupos diferentes de 4 cores conseguimos formar com aquelas 10 cores?

Observe que o elemento a ser interpretado é o subgrupo de 4 cores e não somente uma cor, por exemplo: as cores azul, vermelho, amarelo e verde formam um subgrupo, isto é, mesmo que as usemos em ordem diferente elas continuam sendo o MESMO subgrupo, entendeu?

Porém, basta que mudemos apenas uma das cores (por exemplo: azul, vermelho, amarelo e laranja) para obtermos um NOVO e diferente subgrupo de 4 cores. Dessa forma, podemos escrever a expressão de combinação simples – C(n,p) = n!/p!(n-p)! – para essa informação, assim:

C(10,4) = 10!/4!(10-4)! = 10!/4!6! = 10.9.8.7.6!/4!6! = 10.9.8.7/4.3.2.1 = 210

E essa seria a resposta caso não houvessem mais informações.

Como podemos usar no MÁXIMO 7 cores, significa que podemos usar – além das 4 cores mínimas necessárias – 5, 6 ou 7 cores. Então devemos raciocinar da mesma maneira, isto é, aplicar a expressão de combinação simples nesses 3 casos. Assim:

C(10,5) = 10!/5!(10-5)! = 10!/5!5! = 10.9.8.7.6.5!/5!5! = 10.9.8.7.6/5.4.3.2.1 = 252

C(10,6) = C(10,4) = 210

C(10,7) = 10!/7!(10-7)! = 10!/7!3! = 10.9.8.7!/7!3! = 10.9.8/3.2.1 = 120

Agora a questão é: o que fazer com esses quatro resultados encontrados?

Dica: em análise combinatória (e em outros assuntos, como probabilidade) as partículas “ou” e “e” têm significado matemático específico em relação às operações adição e produto, observe:

“OU” : operação ADIÇÃO ou UNIÃO – exclusividade (acontece apenas um de cada vez)

“E” : operação PRODUTO ou INTERSEÇÃO – simultaneidade (acontece tudo de uma vez)

Entendeu?

Agora fica fácil decidir o que fazer com os quatro resultados. Pergunte a si mesma o que deve acontecer sobre pintar com, no máximo, 7 lápis de cores diferentes:

“Eu devo pintar com 4 lápis E 5 lápis E 6 lápis E 7 lápis?”

“Eu devo pintar com 4 lápis OU 5 lápis OU 6 lápis OU 7 lápis?”

Espero que você tenha decidido pela segunda frase!

Então, a resposta desse problema é a soma de todos os possíves resultados em se escolher 4, 5, 6 ou 7 lápis em um grupo com 10 lápis. Assim:

C(10,4) + C(10,5) + C(10,6) + C(10,7) = 210 + 252 + 210 + 120 = 792

Portanto, existem 792 maneiras distintas para se pintar o desenho com 4, 5, 6 ou 7 lápis diferentes.

Haja lápis pra fazer 792 desenhos! Coitadas das crianças…

No mais é isso aí.

Abraços.