Vitor e a combinação simples condicional

Oi Vitor, tudo bem?

Essa questão – de fato – é de combinação, como você mesmo afirmou.E também tem uma condição – bem explícita por sinal – que é a presença de um elemento (a₂) em todos os grupos de 5 elementos que podem ser formados dentre todos os 8 elementos dados (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a₈).

Ora, vamos pensar um pouco:

Se não houvesse essa condição, o problema seria bem simples, não concorda?

Calcular quantos grupos de 5 elementos podemos formar com 8 elementos é, simplesmente, efetuar o cálculo da Combinação Simples de 8 elementos tomados 5 a 5, certo?

Mas nesse caso, devemos encontrar o total de subgrupos que possuam, necessariamente o a₂em todos eles, assim:)

Escolhas (lugares)	Fixo	Qualquer um dos 7	Qualquer um dos 7	Qualquer um dos 7	Qualquer um dos 7
Possibilidades	(a₂)	(a₁, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a8)	(a₁, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a8)	(a₁, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a8)	(a₁, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a8)

Observe que dos 5 lugares, um deles será sempre fixo, ocupado pelo elemento a_2.

Então, o que fazer?

Simples. Como sobram exatamente 7 elementos no grupo de 8 elementos ao excluirmos o elemento a₂ e sobram exatamente 4 lugares em cada subgrupo de 5 lugares ao excluirmos o elemento a₂, devemos efetuar a Combinação Simples dos 7 elementos tomados 4 a 4, cujo resultado será o número total de subgrupos nos quais o elemento a₂ estará presente, entendeu?

Assim:

C_{7, 4} = 7! / 4!(7 – 4)!

C_{7, 4} = 7! / 4!3!

C_{7, 4} = 7 x 6 x 5 / 3 x 2

C_{7, 4} = 7 x 5

C_{7, 4} = 35

Ou seja, existem exatamente 35 possibilidades de formarmos grupos com 5 elementos escolhidos entre 8 elementos nos quais o elemento a₂ sempre estará presente.

Outra: é possível resolver essa questão de outra maneira, pensando em dividir o total de grupos de 5 elementos (NT) em dois subgrupos: os que contém o a₂ (N(a₂)) e os que não contém o (Ñ(a₂)), ou seja

NT = N(a₂) + Ñ(a₂)

N(a₂) = + Ñ(a₂) – NT

E aí, basta determinar o valor de Ñ(a₂) e NT para obtermos o (mesmo) resultado para N(a₂), entendeu?

Tente resolver dessa outra forma para estimular seu raciocínio.

No mais é isso aí.

Bons Estudos.

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