junho 28, 2008

Diego e o paralelepípedo

Oi Diego, tudo bem?

A sua dúvida é, como várias que respondi aqui mesmo no blog, uma aplicação direta do conceito de dilatação térmica dos sólidos e a correta aplicação da fórmula, claro. 😉

Vamos lá então:

De forma geral, o problema é o seguinte: qual será o (novo) volume do paralelepípedo quando a temperatura variar, certo?

Observe que, como a variação da temperatura é negativa (ela passa de 20ºC para -10ºC, portanto, diminui) o que acontecerá com o volume do sólido é que ele irá diminuir. Esse processo é chamado de contração térmica, que é – exatamente – o contrário da dilatação térmica.

E para resolver matematicamente esse problema, precisamos usar a fórmula para a dilatação volumétrica dos sólidos, que é:

ΔV = V_ox γ x ΔT

Então, retiramos do enunciado as informações necessárias para a resolução do problema:

V_o = (1000 x 1500 x 2000) cm³= (1,0 x 1,5 x 2,0) m³= 3,0 m³(volume inicial do paraleleípedo)

T_o = 20°C (temperatura inicial do paraleleípedo)

T = -10°C (temperatura final do paraleleípedo)

α_alumínio = 24 x 10^-6 °C^-1 (coeficiente de dilatação linear do aluminío)

ΔV = ? (ΔV = V – V_o= variação do volume do paralelepípedo – é o que desejamos calcular para determinarmos o volume final, certo?)

Agora, lembre que existe uma relação entre os coeficientes de dilatação linear (α), superficial (β) e volumétrica (γ):

β = 2α

γ = 3α

Desta forma, podemos substituir as informações dadas na fórmula:

ΔV = V_ox γ x ΔT

ΔV = 3,0x 3.24.10^-6x (-10 – 20)

ΔV = 3,0x 72.10^-6x (-30)

ΔV = 216.10^-6x (-30)

ΔV = -6480.10^-6

ΔV = -0,0648

Ou seja, o volume do paralelepípedo variou – negativamente – 0,0648 m³. Isto significa que houve uma contração térmica (o volume reduziu), como era de se esperar realmente.

Agora ficou fácil determinar o volume final, pois:

ΔV = V – V_o

-0,0648 = V – 3,0

3,0 – 0,0648 = V

V = 2,99352

Portanto, o volume final do paralelepípedo será de 2,99352 m³.

Entendeu?
Bons Estudos!

Para Saber Mais:

Postado em Física - Dúvidas Comentadas
Com a tag dilatação térmica, dilatação térmica dos sólidos
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junho 26, 2008

Zena e as camisetas

Oi Zena, tudo bem?

A dúvida que você expõe sobre o problema é, na verdade, um caso simples de divisão.

Desde que avaliado com cuidado, claro. 😉

Observe que, se você deseja que o custo total (c) de camisetas seja de R$ 7,00, significa que esse mesmo custo total, divido por 7, informará o número de camisetas (n), concorda?

Ou seja:

$\frac{c}{7} = n$

Então, o que precisamos pensar realmente é no valor do custo total (c) que, substituido na igualdade acima, permitirá que encontremos o resultado procurado (n = n° de camisetas), certo?

De acordo com o enunciado, o custo é dividido em duas partes, em função do n° de camisetas (n):

1) R$ 90,00 (independente de n)

2) R$ 6,50 (dependente de n)

Assim, podemos escrever que o custo total equivale ao somatório de ambos os valores mencionados acima, correto?

Mas atenção: como a quantidade de camisetas possui custo unitário, devemos pensar que, se n é o número de camisetas procurado, então o custo de n camisetas (apenas) equivale ao produto de n por R$ 6,50.

Agora podemos escrever a relação para o custo total:

$c = 90,00 + 6,50 \cdot n$

E, substituindo o valor do custo total (c) na primeira igualdade, obtemos:

$\frac{c}{7} = n$

$\frac{90,00 + 6,50 \cdot n}{7} = n$

$90,00 + 6,50 \cdot n = 7 \cdot n$

$7 \cdot n - 6,50 \cdot n = 90,00$

$0,50 \cdot n = 90,00$

$n = \frac{90,00}{0,50}$

$n = 180$

Portanto, nas condições dadas do problema, poderão ser encomendadas 180 camisetas.

Entendeu?

Para Saber Mais:

Postado em Matemática - Dúvidas Comentadas
Com a tag equações do 1° grau, problemas do 1° grau
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junho 21, 2008

O Radical da Thesca

Oi Thesca, tudo bem?

Se entendi bem a sua dúvida, a expressão que você descreveu é essa:

$\sqrt[9]{\frac{2^{28} \cdot 2^{30}}{10}}$

Nesse caso, o que pode ser feito é uma simplificação das potências de base 2, assim:

$\sqrt[9]{\frac{2^{28} \cdot 2^{30}}{10}}$

Aplicando a propriedade para produto de potências de mesma base: “repete-se a base e somam-se os expoentes”.

$\sqrt[9]{\frac{2^{27} \cdot 2^{1} \cdot 2^{27} \cdot 2^{3}}{2 \cdot 5}}$

Pois:

$2^{28} = 2^{27} \cdot 2^1$ e $2^{30} = 2^{27} \cdot 2^3$

Observe que existe o produto de duas potências iguais ( $2^{27}$ ), logo podemos escrevê-la elevada ao quadrado, como segue:

$\sqrt[9]{\frac{2^{27^{2}} \cdot 2^{1} \cdot 2^{3}}{2 \cdot 5}}$

Agora, além de simplificar os fatores 2 (no numerador e no denominador) podemos retirar do radical a potência $2^{27}$ , pois:

$2^{27^{2}} = 2^{2^{27}} = 2^{2^{3^{9}}} = 2^{(2 \cdot 3)^{9}} = 2^{6^{9}}$

Portanto

$2^6 \cdot \sqrt[9]{\frac{2^3}{5}}$

E, por fim

$64 \cdot \sqrt[9]{\frac{8}{5}}$

Bom, apesar do atraso (grande inclusive, me desculpe…) na postagem da solução, está aí o passo-a-passo que você solicitou.

Agora, com relação a “que ocasião é usada uma conta dessas?”… (risos)

Eu diria que depende. Depende da situação, é claro. Em situações práticas (cotidianas) é muito provável que você não chegue nem próximo de algo parecido.

Em geral – para o aluno – serve para desenvolver as habilidades dentro de certo assunto porquê, à medida que os exercícios apresentam um nível de dificuldade maior, nós – professores(as) – esperamos que o aluno procure relacionar o conteúdo aprendido com a pesquisa e prática necessárias para resolver questões mais complexas.

Porém, para os alunos que desejarem seguir alguma carreira ligada às Ciências Exatas (Matemática, Física, Engenharia, Arquitetura, Computação, etc.) terá, em várias situações que “encarar” continhas como essa aí de cima.

Mesmo que tal conta não tenha – aparentemente – nenhum propósito.

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

Postado em Matemática - Dúvidas Comentadas
Com a tag potências, radicais
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junho 4, 2008

O lucro bruto da Cláudia

Oi Cláudia, tudo bem?

Bem, a sua dúvida é decorrente de um detalhe. Qual? Observe:

No enunciado do problema, é dito que “o lucro bruto (diferença entre os preços de venda e compra) na venda de um determinado produto deverá ser igual a 40% do seu preço de venda”.

E o que aconteceu foi que você calculou o lucro bruto sobre o preço de compra (= preço de custo)!!!

Por isso você encontrou o resultado igual a R$ 1050,00…

Então vamos lá:

Para facilitar, vou usar as seguintes notações: