O fio de alumínio da Maria

Oi Maria, tudo bem?

A dúvida que você enviou por e-mail foi essa:

“Boa Tarde, Prof. Marcos.
 Gostaria de obter sua ajuda, no cálculo abaixo. Se não for incomodar-lhe.
 O comprimento de um fio de alumínio é de 25M a uma temperatura de 20º C.  Calcule a sua dilatação linear quando aquecemos o fio até 60ºC.  O coeficiente de dilatação linear do alumínio é 24 X 10 -6 ºC.
Obrigada pela atenção.”

Maria, esse problema é simples porque trata de uma aplicação direta da fórmula de dilatação linear (dos sólidos), que é a seguinte: 

ΔL = Lo x α x ΔT 

Então, retiramos do enunciado do problema as informações necessárias:

 Lo = 25 metros (comprimento inicial do fio)

To = 20°C (temperatura inicial do fio)

T = 60°C (temperatura final do fio)

αalumínio = 24 x 10-6 °C-1  (coeficiente de dilatação linear do fio)

ΔL = ? (ΔL = L – L= variação do comprimento do fio – é o que desejamos calcular, certo?)

Observe que, dos dados acima, já podemos calcular a variação de temperatura (ΔT) ocorrida: 

ΔT = T – To

ΔT = 60 – 20

ΔT = 40°C 

Agora, é só substituir na fórmula da dilatação linear os dados que temos, veja só: 

ΔL = Lo x α x ΔT

ΔL = 25 x 24 x 10-6 x 40

ΔL = 600 x 10-6 x 40

ΔL = 24000 x 10-6

ΔL = 24 x 103 x 10-6

ΔL = 24 x 10-3

ou

ΔL = 0,024 

Assim, a dilatação ocorrida no fio de alumínio, quando ele sofre um aumento de temperatura de 20°C até 60°C é de 0,024 metros.

Entendeu?

Obs.: Sugiro que você – se estiver com tempo – leia também a solução da dúvida do André, que trata do mesmo assunto.  (Para ler, clique aqui).

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

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André e a Dilatação Térmica

Oi André, tudo bem?

O primeiro problema que você postou é de dilatação linear, como aparece no próprio enunciado.

Para resolver um problema desse tipo, usamos a expressão própria para a Dilatação Linear:

∆L = L0.α. ∆T

Onde:

  • ∆L = L – L0: é a variação entre as medidas final e inicial (ou propriamente o valor da dilatação – ou contração – ocorrida)
  • α: é o coeficiente de dilatação linear (valor de referência que indica o quanto uma substância varia – em unidade de medida – a cada grau de temperatura).
  • ∆T = T – T0: é a variação entre as temperaturas final e inicial da substância

(Aliás, esse raciocínio é análogo para as dilatações superficial e volumétrica dos sólidos).

Dito isto, retiremos do enunciado do problema as informações dadas para a resolução: 

Medida inicial: L0 = 10m

Dilação ocorrida: ∆L = 7mm

Note que não podemos ter unidades de medidas diferentes, então é preciso transformar uma das duas unidades – metro ou milímetro – para que possamos prosseguir com os cálculos.  O que não é difícil.   Por quê?metros

Ora,

1 milímetro equivale a 0,001 = 1/1000 = 1/103 = 10-3 metros.

Então,

7 milímetros equivalem 7 vezes mais, isto é, 7 x 10-3 metros. 

E por fim,

Variação de temperatura: ∆T = 70 – 20 = 50°C

Coeficiente de dilatação linear: α = ? (é o que desejamos calcular, certo?

Bom, agora temos todas as informações necessárias para substituirmos na fórmula da dilatação linear: 

∆L = L0.α. ∆T

7 x 10-3 = 10 x α x 50

7 x 10-3 = 500 x α

α = 7 x 10-3 / 500

α = 7 x 10-3 / 5 x 102

α = 7 x 10-3 / 5 x 102

α = (7/5) x 10-3-2

α = (7/5) x 10-5

α = 1,4 x 10-5 

Agora, basta olhar na tabela dos coeficientes de dilatação linear (as potências de 10 podem variar entre tabelas de diferentes autores.   Por exemplo, nesse caso, devemos observar que α = 1,4 x 10-5 = 140 x 10-6 = 0,14 x 10-4, entendeu?

Particularmente, você cita no enunciado a Tabela 1.2 como referência para esse exercício.   E como você não colocou a tabela, usarei essa: 

E, pela tabela acima, o material que possui coeficiente de dilatação térmica equivalente a α = 1,4 x 10-5 é o ouro.

Para o segundo problema, a fórmula (que você diz ter dúvidas) é a que relaciona as duas unidades de temperatura em questão: Celsius e Fahrenheit, 

TC/5 = (TF – 32)/9 

A condição dada no enunciado é que a temperatura medida na escala Fahrenheit é o dobro da temperatura medida na escala Celsius, ou seja:

TF = 2TC 

E como é pedido o resultado da temperatura na escala Fahrenheit, substituímos a segunda relação na primeira, da seguinte maneira: 

TF = 2TC

TF/2 = TC 

Logo, 

TC/5 = (TF – 32)/9

(TF/2)/5 = (TF – 32)/9

TF/10 = (TF – 32)/9

9TF = 10(TF – 32)

9TF = 10TF – 320

320 = 10TF – 9TF

TF = 320 

Então, a temperatura na escala Fahrenheit vale 320F e portanto, na escala Celsius vale 160°C.

Espero ter ajudado.

Para Saber Mais: