A Eliana enviou sua dúvida por e-mail. Então, vamos lá:
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“Professor Castro, estou fazendo faculdade a distância em licenciatura em computação, mas não estou conseguindo resolver este problema, mesmo com a explicação do professor, se você puder me dar uma explicação agradeço.
Abraços
Eliana”
UNIDADE – 2 – Grandezas Diretas e Inversas – Funções
Atividades
Utilizando os conhecimentos adquiridos com o estudo da unidade 2, com o aplicativo Excel no estudo de funções, responda às perguntas e construa o gráfico da situação-problema.
Veja que o retângulo a seguir tem lados CD=AB=8 e CA=BD=4. Portanto, considere um ponto P, cuja posição varia do ponto A até o ponto B. Denomine a distância de A até P, ou seja, denomine a distância de X e construa o gráfico que represente a área dos triângulos ADP ( figura sombreada ) obtidos o ponto P varia de A até B.
x
A p B
C D
Figura 1 Área do triângulo.
1. Qual é o valor máximo e mínimo da área do triângulo ADP?
2. Que nome recebe essa função?
É uma grandeza direta ou inversamente proporcional? Justifique sua resposta.
4. Qual é a expressão matemática para essa função?
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Oi Eliana, tudo bem?
Esse problema não é dos mais complicados não. Basta que você faça uma associação recorrente entre conceitos básicos da geometria e de funções lineares.
Para um melhor entendimento, eu inverti o desenho. Observe que o triângulo DBP (preto) cuja base mede x está destacado propositalmente.
A área de um triângulo vale a metade do produto da Base (b) pela Altura (h) relativa a essa mesma base, e sua expressão é dada por:
Área = (Base x Altura)/2
No problema em questão, o triângulo formado dependerá sempre da posição do ponto P que pode se deslocar sobre o segmento AB (note que a figura está invertida para que melhore a visualização do(s) triângulo(s)).
Dessa forma, os possíveis triângulos de vértices DBP terão as medidas das bases PB todas distintas, isto é:
m(PB) = x
Observe que assim, os possíveis valores para x serão tais que 0 < x < 8, isto é, quando:
P = B → m(PB) = 0
e
P = A → m(PB) = m(AB) = 8
Além disso, como o lado DB do triângulo será sempre fixo, uma vez que se trata da diagonal do retângulo, todos os triângulos formados serão retos em A. E isto implica que o lado AD do retângulo equivale à altura de todos os triângulos DBP, que também será fixa e cuja medida vale 4 (em azul).
Após esta análise, podemos pensar na expressão da função que representa a área desses triângulos, já que à medida que variamos x, a medida da área também varia, veja só:
A(x) = (b.h)/2
A(x) = (4.x)/2
A(x) = 2x
Note que agora, podemos estabelecer os limites – máximo e mínimo – para as medidas das áreas:
P = B => x = 0 => A(x) = 2.0 = 0
P = A => x = 8 => A(x) = 2.8 = 16
Ou seja:
0 < A(x) < 16
E o gráfico da função A(x) = 2x é uma reta crescente que passa pela origem do Plano Cartesiano. Para esboçar esse gráfico precisamos de dois pontos dessa reta, o que não é problema, pois esses pontos já foram calculados anteriormente, veja só:
A(0, 0) e B(8, 16)
Portanto, o gráfico pedido no problema será:
Espero ter ajudado.
Bons Estudos.
Para Saber Mais: