Eliana e as áreas dos triângulos variáveis

A Eliana enviou sua dúvida por e-mail.   Então, vamos lá:

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Professor Castro, estou fazendo faculdade a distância em licenciatura em computação, mas não estou conseguindo resolver este problema, mesmo com a explicação do professor, se você puder me dar uma explicação agradeço.

Abraços

Eliana

UNIDADE –  2 – Grandezas Diretas e Inversas – Funções 

Atividades 

Utilizando os conhecimentos adquiridos com o estudo da unidade 2, com o aplicativo Excel no estudo de funções, responda às perguntas e construa o gráfico da situação-problema. 

Veja que o retângulo a seguir tem lados CD=AB=8 e CA=BD=4. Portanto, considere um ponto P, cuja posição varia do ponto A até o ponto B. Denomine a distância de A até P, ou seja, denomine a distância de X e construa o gráfico que represente a área dos triângulos ADP ( figura sombreada ) obtidos o ponto P varia de A até B. 
                                                        x
                                             A                 p                    B
 
 
 
                                          

                                              C                                       D

          

                                                                               

                                             Figura 1 Área do triângulo.  

1. Qual é o valor máximo e mínimo da área do triângulo ADP?

2. Que nome recebe essa função?

É uma grandeza direta ou inversamente proporcional? Justifique sua resposta.

4. Qual é a expressão matemática para essa função?

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Oi Eliana, tudo bem?

Esse problema não é dos mais complicados não.   Basta que você faça uma associação recorrente entre conceitos básicos da geometria e de funções lineares.

Para um melhor entendimento, eu inverti o desenho.   Observe que o triângulo DBP (preto) cuja base mede x está destacado propositalmente.

A área de um triângulo vale a metade do produto da Base (b) pela Altura (h) relativa a essa mesma base, e sua expressão é dada por: 

Área = (Base x Altura)/2

No problema em questão, o triângulo formado dependerá sempre da posição do ponto P que pode se deslocar sobre o segmento AB (note que a figura está invertida para que melhore a visualização do(s) triângulo(s)).

Dessa forma, os possíveis triângulos de vértices DBP terão as medidas das bases PB todas distintas, isto é: 

m(PB) = x

Observe que assim, os possíveis valores para x serão tais que 0 < x < 8, isto é, quando:

P = B → m(PB) = 0

e

P = A → m(PB) = m(AB) = 8

Além disso, como o lado DB do triângulo será sempre fixo, uma vez que se trata da diagonal do retângulo, todos os triângulos formados serão retos em A.   E isto implica que o lado AD do retângulo equivale à altura de todos os triângulos DBP, que também será fixa e cuja medida vale 4 (em azul).

Após esta análise, podemos pensar na expressão da função que representa a área desses triângulos, já que à medida que variamos x, a medida da área também varia, veja só: 

A(x) = (b.h)/2

A(x) = (4.x)/2

A(x) = 2x

Note que agora, podemos estabelecer os limites – máximo e mínimo – para as medidas das áreas:

P = B => x = 0 => A(x) = 2.0 = 0

P = A => x = 8 => A(x) = 2.8 = 16

Ou seja: 

0 < A(x) < 16

E o gráfico da função A(x) = 2x é uma reta crescente que passa pela origem do Plano Cartesiano.   Para esboçar esse gráfico precisamos de dois pontos dessa reta, o que não é problema, pois esses pontos já foram calculados anteriormente, veja só: 

A(0, 0) e B(8, 16)

Portanto, o gráfico pedido no problema será:

 

Espero ter ajudado.

Bons Estudos. 

Para Saber Mais:

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O terreno quadrado da Luana

Oi Luana, tudo bem?

 A questão que você tem dúvida é relativamente fácil.

Para resolvê-la basta que você lembre de duas coisas apenas: o que significa perímetro (2p) e como se calcula a área de um quadrado.

Por quê?

Porque são exatamente as duas grandezas envolvidas nesse problema.

Vamos lá:

Você deseja calcular o perímetro de um terreno quadrado.

Caso você não lembre, perímetro é a soma de todos as arestas (= lados)  do polígono regular (= quadrado) em questão.

Então, basicamente, se descobrirmos quanto mede um lado desse quadrado (pois todos eles têm a mesma medida), multiplicamos por 4 e encontramos o resultado pedido, concorda?

Além disso, é dada outra informação: que a área desse terreno quadrado vale 5184 m².

E área é uma medida de superfície.   Em particular, a área do quadrado é calculada efetuando-se o produto entre dois dos seus lados (ou o produto da base pela altura, tanto faz, pois ambos têm a mesma medida dos lados, só muda a nomenclatura).  Observe:

Área do quadrado (S) = base (B) x altura (H) = lado (L) x lado (L)

Então

S = L x L = L²

Mas a área do quadrado nós sabemos quanto vale, certo?

Vale 5184 m², logo basta substituir na expressão da área acima para determinarmos a medida do lado, veja:

S = L²

5184 = L²

ou

L² = 5184

L = √5184 = √(72)²

L = 72

Portanto, a medida do lado do terreno quadrado vale 72 metros.

Agora ficou fácil determinar o perímetro, veja:

 

perímetro (2p) do quadrado = a soma dos quatro lados = 4 vezes um lado

2p = 4 x L

2p = 4 x 72

2p = 288

Portanto, o perímetro desse terreno quadrado vale 288 metros.

Enorme esse terreno, não acha?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais: