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José Wesley e a escala de trabalho

O José Wesley enviou sua dúvida por e-mail.

“Olá Professor.

Queria entender o raciocínio para o tipo de questão seguinte:

Um determinado soldado trabalha em escala 12/24 e  outro soldado trabalha em escala 9/18. Após quantas horas os dois irão se encontrar novamente?

Grato.”

Realmente, a dúvida do José Wesley é pertinente e relevante porque todos os problemas que envolvem o raciocínio de MDC e/ou MMC sempre têm uma dose extra de subjetividade, isto é, depende muito da interpretação de quem lê.

Vamos lá.

Para determinar em quantas horas os dois soldados irão se encontrar novamente, precisamos pensar nas informações dadas relativas às suas respectivas escalas de trabalho:

soldado A -trabalha 12 horas – folga 24 horas

e

soldado B – trabalha 9 horas – folga 18 horas

Esse tipo de problema envolve uma comparação implícita, de forma que se faz necessário uma referência (inicial) para que a comparação (entre os dois objetos envolvidos) faça sentido.

Observe que se eles irão se encontrar novamente, é porque eles já estiveram juntos, concorda?

Isto significa que podemos supor (nesse problema) que ambos os soldados iniciaram suas jornadas de trabalho juntos.

E aqui reside o ponto crucial do entendimento e da interpretação do problema.    Por quê?

Porque se eles irão se encontrar após uma quantidade de horas específica (e igual para ambos), a soma das horas de trabalho com as horas de folga deverão totalizar o mesmo tempo (decorrido) para ambos.

Como assim?

É simples, veja:

Os soldados começam a trabalhar juntos, folgam separados, voltam a trabalhar separados, folgam separados, voltam a trabalhar separados, e esse processo se repete até que eles se encontrem, certo?

Isto significa que o total de tempo (em horas) decorrido corresponde à soma das horas trabalhadas com as horas de folga. E, como disse acima, o total de horas deverá ser igual para ambos os soldados.

Dessa forma podemos escrever duas equações para os dois soldados, observe:

soldado A: nº horas trabalhadas + nº horas de folga = tempo total (em horas)

e

soldado B: nº horas trabalhadas + nº horas de folga = tempo total (em horas)

Substituindo as informações dadas no enunciado e chamando o tempo total de “h“, temos:

soldado A:  12n+24n=h

e

soldado B:  9m+18m=h

Arrumando ambas as equações, obtemos:

36n=h

e

27m=h

As duas equações indicam que o valor “h” (tempo total) é divisível por 36 e por 27 simultaneamente, ou seja, h é o menor múltiplo de 36 e de 27.   Então:

MMC(27, 36)=h

Para determinar “h“, basta fatorarmos os números 27 e 36:

27=3^{3}

e

36=4 \cdot 9=2^{2} \cdot 3^{2}

Então,

MMC(27, 36)=2^{2} \cdot 3^{3}=4 \cdot 27=108

Portanto os soldados irão se encontrar após 108 horas de trabalho.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Para Saber Mais:

O Trenzinho da Raquel

Oi Raquel, tudo bem?

A dúvida que você postou é – de fato – sobre MMC.

Mas entenda que, não basta conhecer a definição ou simplesmente saber efetuar o cálculo para determinar o MMC entre dois ou mais números (ou o MDC) para que a solução de um problema apareça.

Na maioria das vezes é necessário uma boa dose de interpretação para que possamos relacionar os conteúdos envolvidos nas questões.

Então, vamos à solução do problema:

Se o trenzinho anda sobre uma pista circular com 20 estações e pára de 6 em 6 estações, temos – a princípio – dois números inteiros envolvidos: 6 e 20.

Agora: o que devo usar? MDC ou MMC?

Para pensar melhor,  vamos pensar que a pista não é circular, mas reta.   E são dois trens ao invés de um só.

Por quê?

Porque, para sua visualização mental, fica mais fácil entender essa imagem:

“Dois trens A e B partem no mesmo sentido, da mesma estação mas em linhas diferentes.   Se o trem A pára de 20 em 20 estações e o trem B pára de 6 em 6 estações, após quantas estações eles irão se encontrar novamente?  (na mesma estação, claro…)”

Agora pense um pouco.  Considerando N o número de estações, nessa situação, o que você deseja:

a) encontrar dois números diferentes a e b tais que N = 20 x a e N = 6 x b?    (nesse caso, N será o MMC entre 20 e 6, ou seja, MMC(20, 6) = 60)

ou

b) encontrar dois números diferentes m e n tais que m = 20 x N e n = 6 x N?    (nesse caso, N será o MDC entre 20 e 6, ou seja, MDC(20, 6) = 2)

OBS.: Caso você não lembre como calcular o MMC ou o MDC, você poderá pesquisar isso em um dos links ao final do texto ou, de forma mais direta, usando a calculadora de MMC e MDC online, no sítio www.profcardy.com.

Uma rápida observação mostra que o segundo caso não traduz a resposta que procuramos, porque após 2 estações os trens ainda estão em movimento, certo?   Isto significa que os dois trens irão se encontrar na estação de número 60, entende?

E como voltar com esse raciocínio para a questão original?

Simples.   Após analisar a questão e decidir sobre o que usar – MDC ou MMC – e determinar tal valor, você deve lembrar que, como são 20 estações sobre uma pista circular, significa que, a cada 20 estações ultrapassadas, o trem completou uma volta, concorda?

Como já sabemos que o problema é sobre MMC, se dividirmos esse valor (60) pela quantidade de estações (20) obteremos o número de voltas (n), certo?

Então:

n = \frac{60}{20}

n = 3

Portanto, o trenzinho dará 3 voltas até chegar novamente na estação de onde partiu.

Agora, para saber o número de estações, basta que você pense o seguinte: em 3 voltas o trem percorre, ao todo, 60 estações.   Como ele pára a cada 6 estações, é natural pensar que, dividir o número total de estações (60) pela quantidade de estações que ele pára (6) , fornecerá o número de paradas (p) que ele fez, concorda?

Então:

p = \frac{60}{6}

n = 10

Portanto, o trenzinho faz 10 paradas (contando com a última, isto é: 9 + 1 = 10 paradas) até chegar novamente na estação de onde partiu.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

Você sabia…

…que para calcular o MDC de dois ou mais números pode-se usar o procedimento da fatoração simultânea, conhecido – basicamente – para o cálculo do MMC?

Para calcular o MDC através da fatoração simultânea, basta efetuarmos o produto dos fatores primos que dividiram TODOS os valores que foram fatorados.

Difícil?

Nem tanto.   Veja esse exemplo: calcular o MDC entre 60, 80, 100 e 120.

60

80

100

120

2

30

40

50

60

2

15

20

25

30

2

15

10

25

15

2

15

5

25

15

3

5

5

25

5

5

1

1

5

1

5

1

1

1

1

 

Para o MMC, bastaria efetuar a multiplicação de todos os valores encontrados, isto é,

MMC(60, 80, 100, 120) = 24 x 3 x 5 = 1200

Para o MDC, basta localizar na decomposição simultânea as linhas onde aparecem os fatores que dividiram TODOS os números, sem exceção (em azul).

MDC(60, 80, 100, 120) = 2 x 2 x 5 = 20

Prático, não?

Para Saber Mais:

A divisão “sinistra” do Fábio

Oi Fábio, tudo bem?

A questão que você postou é sobre MDC. Vamos lá:

Deseja-se descobrir o maior número natural tal que, quando dividimos os números 150 e 654 por esse valor o resto da divisão é 6. E é claro que, ao descobrir esse número, poderemos somar seus algarismos.

Bom, vamos dar um nome para esse número, digamos “d” (de divisor).

Através do Algoritmo da Divisão (de Euclides), que é tão somente escrever a divisão como você conhece de forma linear, isto é, numa única linha, assim:

D = d.q + r

Onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente e r = resto.

Ora, nós temos dois dividendos – 150 e 654 – e queremos determinar um ÚNICO divisor “d” e que deixe resto 6 em ambas as divisões, certo?

Então vamos escrever as expressões para essas duas informações através do algoritmo da divisão:

654 = d.q + 6

e

150 = d.q’ + 6

Observe que os q e q’ são diferentes, por isso o (‘) em q’, ok?

Subtraindo o 6 no lado esquerdo de ambas as equações, obtemos o seguinte:

650 – 6 = d.q -> 648 = d.q (eq.1)

e

150 – 6 = d.q’ -> 144 = d.q’ (eq.2)

As equações 1 e 2 nos informam que ambas as divisões – 144 por d e 648 por d – são exatas!

Isto significa que o divisor d é – na verdade – o maior divisor possível e comum entre aqueles dois números, ou seja, ele é o MDC entre 144 e 648.

E, caso você não se lembre, a definição para MDC (máximo divisor comum) é: “o produto dos fatores primos comuns e com menor expoente em todas as fatorações”.

Dito isto, vamos escrever 144 e 648 em suas formas fatoradas:

144 = 2^{4} \cdot 3^{2}

e

648 = 2^{3} \cdot 3^{4}

Então:

MDC(144, 648 ) = 2^{3} \cdot 3^{2}=8 \cdot 9=72

Portanto, a soma dos algarismo de 72 vale 7 + 2 = 9.

E como você pode ter certeza de que esse é o valor correto?

Simples: basta dividir 150 por 72 e depois 654 por 72, você vair ver que vai dar resto 6 nas duas contas. 😉

No mais é isso aí.

Abraços.