A equação exponencial da Luzilene

Oi Luzilene, tudo bem?

A dúvida que você postou sobre Equações Exponenciais é, na verdade, simples.   Desde que você lembre das Propriedades das Potências para isso.

Vamos lá.

Você quer a solução (ou conjunto verdade) da equação

5^{x+2}-5^{x+1}=100

Isto significa que precisamos determinar o valor da incógnita “x” tal que, quando substituída pelo seu valor correto, o resultado encontrado seja igual a 100.

Observe que as duas parcelas da equação são potências de base 5 com expoentes compostos.

Então, para melhorar a expressão dada, precisamos utilizar uma das propriedades das potências para isso:

a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}

Veja:

5^{x+2}=5^{x} \cdot 5^{2}

e

5^{x+1}=5^{x} \cdot 5^{1}

Assim, podemos resolver a equação dada.  Observe:

5^{x+2}-5^{x+1}=100

5^{x} \cdot 5^{2}-5^{x} \cdot 5^{1}=100

Podemos colocar a potência 5^{x} em evidência e, dessa forma:

5^{x}(5^{2}-5^{1})=100

5^{x}= \frac{100}{20}

5^{x}=5

logo,

x=1

Ou seja, se x = 1, a equação será verdadeira.   E, de fato:

5^{1+2}-5^{1+1}=5^{3}-5^{2}=125-25=100

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Para Saber Mais:

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O logaritmo escondido do Ricardo

Oi Ricardo, tudo bem?

Concordo com você que o exercício é simples.   Mas não é tão complexo como você acha.

Nem todas as equações exponenciais têm como solução algum número natural ou inteiro.   Como é o caso da expressão que você colocou aqui.   Talvez por isso não tenha conseguido resolvê-la.

Na verdade, é necessário recorrermos ao uso dos logaritmos para isso, sempre que tivermos equações dessa forma e – claro –  não conseguirmos igualar as bases das potências em ambos os lados da igualdade.

Vamos lá:

102x = 25

(uso propriedades das potências para igualar os expoentes)¹

(10x)2 = 52

(simplifico os expoentes)

10x = 5

(aplico logaritmo em ambos os lados da igualdade)

log(10x) = log(5)

(uso propriedades dos logaritmos para transformar o expoente “x” em fator)²

xlog(10) = log(5)

(uso propriedade fundamental de logaritmo)³

x = log(5)

Observe que marquei 3 passagens (os números em vermelho) no cálculo acima.   Em geral, onde os alunos erram por não relacionar os conteúdos e – também – por falta de prática.

Veja só:

1. usei a propriedade “potência de potência”, por exemplo:

26 = 22 x 3 = (22)3 = (23)2

porque

(22)3 = 22  x 22 x 22 e (23)2 = 23 x 23

2. usei a propriedade “logaritmo de potência”, por exemplo:

log(23) = 3log(2)

3. usei a propriedade fundamental (ou regra geral) para logaritmos:

loga (b) = x <=> ax = b

(com “a” diferente de zero, claro!)

Importante lembrar que quando a = 10, ela não aparece, isto é, não precisamos escrever a base do logaritmo quando ela for igual a 10.   Por exemplo:

log (b) = log10 (b)

Isso explica porque log(10) = 1 e, nesse passo do cálculo, é simplificado, observe:

log (10) = x

log10 (10) = x

10x = 10

x = 1

Entendeu?

Agora, com um pouco mais de dedicação e paciência, você certamente encontraria em qualquer livro de 7ª e/ou 8ª séries, a definição de potência de expoente negativo, como a que você mandou.  Observe a propriedade: 

a-x = (1/a)x = 1x/ax = 1/ax

Caso a base da potência seja uma fração, vale a mesma propriedade, veja:

(a/b)-x = (b/a)x = bx/ax

Então fica fácil saber a fração equivalente à potência 10-x, veja:

10-x = (1/10)x = 1x/10x = 1/10x

No mais é isso aí.

Bons Estudos.