A régua do Jean

Oi Jean, tudo bem?

Antes de mais nada, verifique o enunciado da 1ª questão que você postou, porque me surgiram dúvidas, como:

1. “Uma barra de estanho tem uma forma de prisma reto de base 4cm²” – A base de todo prisma reto é – em geral – um polígono regular.   Não é dito qual é o polígono da base.

2. “Determine o comprimento e o volume dessa barra à temperatura de 518°F“. – Trata-se de uma resolução de Dilatação Volumétrica.   Isto significa que é preciso se calcular o volume inicial do prisma, cuja fórmula geral  é:

Volume = Área da Base x Altura

Não é informada a medida da altura do prisma, somente o comprimento, que vale 1m.   E aqui temos uma situação – no mínimo – equivocada porque, se a área da base mede 4cm², então o comprimento NÃO poderia medir 1m.   A menos – é claro – que essa medida seja da altura do prisma.    Aí o problema passa a fazer sentido.

Depois que você confirmar isso, volte a postar (confirmando ou retificando) o enunciado, ok?

Dito isto, vamos à 2ª questão.

* * * * * * * * * *

A sua dúvida é, como várias que respondi aqui mesmo no blog, uma aplicação direta do conceito de dilatação térmica dos sólidos e a correta aplicação da fórmula, claro. ;-)

Vamos lá então:

De forma geral, o problema é o seguinte: qual será a (nova) temperatura da régua para que a medida passe a variar 1mm a mais, certo?

Para resolver um problema desse tipo, usamos a expressão própria para a Dilatação Linear:

∆L = L0 . α . ∆T

Onde:

  • ∆L = L – L0: é a variação entre as medidas final e inicial (ou propriamente o valor da dilatação – ou contração – ocorrida)
  • α: é o coeficiente de dilatação linear (valor de referência que indica o quanto uma substância varia – em unidade de medida – a cada grau de temperatura).
  • ∆T = T – T0: é a variação entre as temperaturas final e inicial da substância

(Aliás, esse raciocínio é análogo para as dilatações superficial e volumétrica dos sólidos).

Então, retiramos do enunciado do problema as informações necessárias:

 T = ? (temperatura final do fioé o que desejamos calcular, certo?)

T0 = 20°C (temperatura inicial da régua))

αlatão = 19 x 10-6 °C-1  (coeficiente de dilatação linear da régua)

ΔL = L – L(variação do comprimento do fio)

Observe que, o aumento de 1mm na medida original devido à variação da temperatura (que certamente aumentou, concorda?) corresponde à variação do comprimento (ΔL) e o resultado de 30cm (L) corresponde à medida inicial (Lo) acrescida do erro (ΔL).

(E aqui é preciso fazer uma observação importante porque, esse enunciado permite duas interpretações: (1ª) o erro de 1mm ser acrescido na medida de 30cm ou; (2ª) o erro de 1mm ser acrescido na medida inicial resultando nos 30cm.   A solução comentada que farei aqui será com base na (2ª) interpretação, ok?   Mas fique tranquilo porque, se você quiser resolver pela (1ª) interpretação, a resolução será análoga.)

Então, podemos escrever a última igualdade acima da seguinte maneira:

ΔL = L – L

1mm = 30cm – Lo

Mas note que as unidades de medidas são diferentes.   Temos que converter uma delas para efetuarmos os cálculos corretamente.   E isto é simples porque, se 1cm = 10mm, logo 30cm = 300mm, certo?

Então:

ΔL = L – L

 1mm = 30cm – Lo

Lo = 300mm – 1mm

Lo = 300 – 1

Lo = 299

Logo, a medida inicial da régua era de 299mm.

Agora podemos substituir as informações na fórmula da Dilatação Térmica Linear:

∆L = L0 . α . ∆T

1 = 299 . 19.10-6 . (T – 20)

1 = 5681.10-6 . (T – 20)

1 / 5681.10-6 = T – 20

T – 20 = 1 / 5681.10-6 

T – 20 = 1 / 0,005681

T = 176,03 + 20

T = 196,03

Portanto – e por mais absurdo que pareça – é preciso que a régua de latão atinja uma temperatura aproximada de 196°C (quer dizer: 176°C a mais!) para aumentar 1mm no seu comprimento e provoque esse erro nas medidas.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

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Karen e os algarismos

Oi Karen, tudo bem?

A dúvida que você postou trata de um assunto chamado Análise Combinatória, mais especificamente Arranjo Simples.

Nessa questão, você deve observar a quantidade de algarismos que compõe os números compreendidos entre 300 e 3000.   Repare que esse conjunto finito pode (e deve) ser dividido em dois subconjuntos menores e em função da quantidade de algarismos para melhorar o entendimento, ou seja, o primeiro subgrupo com os números de 3 algarismos (300 a 999) e o segundo grupo com os números de 4 algarismos (1000 a 3000).   Assim:

{300, …, 3000} = {300, …, 999} ∪ {1000, …, 3000}

Isto irá facilitar a resolução da questão pois, separando dessa forma, podemos calcular a quantidade de números em função quantidade de algarismos dos elementos (como disse ali em cima: 3 e 4 alagarismos) que compõe cada subconjunto, certo?

Para lembrar, a fórmula para o Arranjo Simples é dada pela expressão:

An, p = n!/(n-p)!

Onde n é o número total de elementos do conjunto que estamos trabalhando e p o número de elementos dos subgrupos distintos (arranjos) que podem ser formados.   Além disso, queremos apenas que apareçam os seguintes alagarismos {1, 2, 3, 5, 7, 8}, correto?   (Por exemplo, números como 122, 585, 1377 ou 2888 não serão computados nesse cálculo porque um ou mais de algarismo se repete na composição do número).

Assim, o resultado que desejamos calcular é a soma dos resultados de cada subgrupo, ou seja:

Resultado Final = A6, 3 + A6, 4

Então vamos lá:

Para o primeiro grupo de número com 3 algarismos apenas, queremos formar arranjos (subgrupos = números) com os 6 elementos dados (1, 2, 3, 5, 7 e 8) tomados 3 a 3 (cada subgrupo deverá ter somente 3 daqueles 6 elementos SEM que nenhum deles se repita).   Aplicando na fórmula, obtemos o seguinte:

An, p = n!/(n-p)!

A6, 3 = 6!/(6-3)!

A6, 3 = 6!/3!

A6, 3 = 6 x 5 x 4 x 3! / 3!

A6, 3 = 6 x 5 x 4

A6, 3 = 120

Portanto, podemos formar 120 números números distintos de 3 algarismos com os 6 algarismos do conjunto {1, 2, 3, 5, 7, 8}.

Para o segundo grupo de números com 4 algarismo apenas, procedemos de maneira análoga à anterior: 

An, p = n!/(n-p)!

A6, 4 = 6!/(6-4)!

A6, 4 = 6!/2!

A6, 4 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2! / 2!

A6, 3 = 6 x 5 x 4 x 3

A6, 3 = 360

Portanto, podemos formar 360 números distintos de 4 algarismos com os 6 algarismos do conjunto {1, 2, 3, 5, 7, 8}.

Logo, o resultado (R) que procuramos é a soma dos dois resultados encontrados, ou seja:

R = A6, 3 + A6, 4

R = 120 + 360

R = 480

Portanto, poderemos formar 480 números distintos entre 300 e 3000 utilizando apenas os algarismos {1, 2, 3, 5, 7, 8}.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

O Trenzinho da Raquel

Oi Raquel, tudo bem?

A dúvida que você postou é – de fato – sobre MMC.

Mas entenda que, não basta conhecer a definição ou simplesmente saber efetuar o cálculo para determinar o MMC entre dois ou mais números (ou o MDC) para que a solução de um problema apareça.

Na maioria das vezes é necessário uma boa dose de interpretação para que possamos relacionar os conteúdos envolvidos nas questões.

Então, vamos à solução do problema:

Se o trenzinho anda sobre uma pista circular com 20 estações e pára de 6 em 6 estações, temos – a princípio – dois números inteiros envolvidos: 6 e 20.

Agora: o que devo usar? MDC ou MMC?

Para pensar melhor,  vamos pensar que a pista não é circular, mas reta.   E são dois trens ao invés de um só.

Por quê?

Porque, para sua visualização mental, fica mais fácil entender essa imagem:

Dois trens A e B partem no mesmo sentido, da mesma estação mas em linhas diferentes.   Se o trem A pára de 20 em 20 estações e o trem B pára de 6 em 6 estações, após quantas estações eles irão se encontrar novamente?  (na mesma estação, claro…)

Agora pense um pouco.  Considerando N o número de estações, nessa situação, o que você deseja:

a) encontrar dois números diferentes a e b tais que N = 20 x a e N = 6 x b?    (nesse caso, N será o MMC entre 20 e 6, ou seja, MMC(20, 6) = 60)

ou

b) encontrar dois números diferentes m e n tais que m = 20 x N e n = 6 x N?    (nesse caso, N será o MDC entre 20 e 6, ou seja, MDC(20, 6) = 2)

OBS.: Caso você não lembre como calcular o MMC ou o MDC, você poderá pesquisar isso em um dos links ao final do texto ou, de forma mais direta, usando a calculadora de MMC e MDC online, no sítio www.profcardy.com.

Uma rápida observação mostra que o segundo caso não traduz a resposta que procuramos, porque após 2 estações os trens ainda estão em movimento, certo?   Isto significa que os dois trens irão se encontrar na estação de número 60, entende?

E como voltar com esse raciocínio para a questão original?

Simples.   Após analisar a questão e decidir sobre o que usar – MDC ou MMC – e determinar tal valor, você deve lembrar que, como são 20 estações sobre uma pista circular, significa que, a cada 20 estações ultrapassadas, o trem completou uma volta, concorda?

Como já sabemos que o problema é sobre MMC, se dividirmos esse valor (60) pela quantidade de estações (20) obteremos o número de voltas (n), certo?

Então:

n = \frac{60}{20}

n = 3

Portanto, o trenzinho dará 3 voltas até chegar novamente na estação de onde partiu.

Agora, para saber o número de estações, basta que você pense o seguinte: em 3 voltas o trem percorre, ao todo, 60 estações.   Como ele pára a cada 6 estações, é natural pensar que, dividir o número total de estações (60) pela quantidade de estações que ele pára (6) , fornecerá o número de paradas (p) que ele fez, concorda?

Então:

p = \frac{60}{6}

n = 10

Portanto, o trenzinho faz 10 paradas (contando com a última, isto é: 9 + 1 = 10 paradas) até chegar novamente na estação de onde partiu.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

A viagem da Caroline

Oi Caroline, tudo bem?

O problema que você tem dúvida, interpretado com calma, fica fácil de ser montado e, consequentemente, solucionado.

Primeiro, vamos chamar de “v”, a velocidade média e de “t”, o tempo gasto no percurso de 360km.

Assim, podemos traduzir as informações dadas, observe:

Um automóvel viajando em determinada velocidade média completou um percurso de 360km em t horas.  Então:

v = 360/t     (1ª eq.)

Caso essa velocidade fosse aumentada em 30km/h, a viagem teria durado uma hora a menos.  Então:

v + 30 = 360/t – 1     (2ªeq.)

Notou que dessa forma obtemos um sistema de equações do 1° grau (com v e t)?

Agora ficou simples.   Basta substituirmos a 1ª equação na 2ª equação:

360/t + 30 = 360/t – 1

(360 + 30t)/t = 360/t – 1

(360 + 30t)(t – 1) = 360t

360t – 360 + 30t² – 30t = 360t

 – 360 + 30t² – 30t = 0

 30t² – 30t – 360 = 0

(÷ 30)

 t² – t – 12 = 0

A equação quadrática encontrada possui raízes iguais a -3 e 4 (verifique!) e, como a grandeza calculada é o tempo t, não precisamos do valor negativo, pois não traduz significado físico ao problema, certo?

Portanto, o tempo gasto na viagem foi de 4 horas.

Entendeu?

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

 

Paulo e a divisão com decimais

Oi Paulo, tudo bem?

Saiba que a sua dúvida é mais comum do que você imagina, por isso a maioria das pessoas nem toca no assunto. 😉

Vamos lá:

Primeiro, vamos lembrar que a operação divisão popriamente dita é, na verdade, um processo recursivo, isto é, um algoritmo que aplicamos e reaplicamos até quando uma condição é satisfeita.

No caso, essa condição é a seguinte: enquanto o resto (r) da divisão for igual ou maior do que o divisor (d), repetimos o processo.

E isso é equivalente a dizer exatamente o contrário: quando o resto (r) da divisão for menor do que o divisor (d), encerramos o processo. Para divisões onde desejamos apenas quocientes (q) inteiros (ou seja, não decimais com dividendo (D) e divisor (d) também inteiros).

De forma linear, podemos escrever o algoritmo da divisão como:

D = d.q + r

Então, para efetuarmos uma divisão entre números decimais, basta que igualemos o número de casas decimais do para que possamos seguir com o processo descrito acima.

E por que precisamos fazer isso?

Note que todo número decimal é, na verdade, a representação linear de uma fração decimal (ou múltipla desta), assim:

1,2 = \frac{12}{10}

1,23 = \frac{123}{100}

12,345 = \frac{12345}{1000}

Quer dizer, a quantidade de casas decimais após a vírgula sempre indicará quantos zeros haverá no número múltiplo de 10 que será, necessariamente, o denominador da fração.

Então, precisamos fazer isto (igualar o número de casas decimais após a vírgula) para que possamos efetuar o cálculo da divisão dentro do (único) processo conhecido.

Por exemplo, se quero dividir 12,345 por 1,2, devo igualar as casas decimais porquê:

\frac {12,345}{1,2} = \frac{12345/1000}{12/10} = \frac{12345}{1000} \cdot \frac{10}{12} = \frac{12345}{100} \cdot \frac{1}{12} = \frac{12345}{1200}

Então, observe que, para efetuarmos a divisão de 1988,43 por 7,8414, como você sugeriu, precisamos, primeiro, igualar o número de casas decimais, assim:

\frac {1988,43}{7,8414} = \frac{198843/100}{78414/10000} = \frac{198843}{100} \cdot \frac{10000}{78414} = \frac{198843}{1} \cdot \frac{100}{78414} = \frac{19884300}{78414}

Agora, é efetuar a divisão como a conhecemos:

1º passo:

 

198843’00     78414         

  – 156828     2

      42015

 

2º passo:

 

198843′0‘0     78414         

    420150       | 25

 – 392070       |

     28080

  

 3º passo:

 

 198843’0′0′     78414         

     280800       | 253

  – 235242       |

     45558

 

4º passo:

 

 198843’0’0′     78414         

     455580       | 253,5          (colocamos zero no resto para continuar a divisão)

  – 392070       |

      63510

 

5º passo:

 

 198843’0’0′     78414         

     635100       | 253,58       (colocamos zero no resto para continuar a divisão)

  – 627312       |

      77880

 

6º passo:

 

 198843’0’0′     78414         

     778800       | 253,5809     (colocamos zero no resto e no quociente

   – 705726      |                    para continuar a divisão)

      73074

7º passo:

 

 198843’0’0′     78414         

     730740       | 253,58099    (colocamos zero no resto 

   – 705726      |                      para continuar a divisão)

      25014

E vou parar por aqui, já que o exemplo que você escolheu parece não terminar tão cedo…

Mas como você pôde acompanhar, temos uma aproximação bastante razoável (4 casas decimais) para a divisão de 1988,43 por 7,8414.

Se você tiver acesso a uma calculadora científica ou financeira (e, caso não tenha, no seu sistema operacional – Linux ou Windows, tanto faz – você encontrará uma calculadora em INICIAR>PROGRAMAS>ACESSÓRIOS, e no menu EXIBIR poderá escolher pelo formato CIENTÍFICO, de forma a obter mais de duas casas decimais nas operações elementares como esta divisão).

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

As bandeiras da Lorena

Oi Lorena, tudo bem?

A dúvida que você postou é sobre Permutação com Repetição.

Então, formar sinais diferentes com as 3 bandeiras azuis, as duas bandeiras vermelhas e a bandeira branca, significa formar sinais coloridos com as 6 bandeiras em uma certa sequência (aleatória) com as bandeiras disponíveis.

Por exemplo:

(1ª) azul, (2ª) vermelha, (3ª) azul, (4ª) vermelha, (5ª) branca, (6ª) azul

É uma das sequências possíveis.

Porém, note que, se mudarmos as duas bandeiras vermelhas de posição, continuamos com a mesma sequência, concorda?

O resultado que encontraremos com a fórmula da Permutação com Repetição será exatamente o número total de sinais diferentes – usando as seis bandeiras – já descontados os casos em que os sinais se repetem quando mudamos bandeiras com as mesmas cores de posição.

A fórmula para a Permutação com Repetição é a seguinte:

Pn, (a1, a2, a3, …, ak)

Onde n é o número total de elementos e cada ai (i =1, 2, 3, …, k) representa o número de vezes que um elemento se repete no conjunto.

Assim, retiramos as informações necessárias do enunciado do problema:

n = 6 (número total de bandeiras)

a1 = 3 (número de bandeiras azuis)

a2 = 2 (número de bandeiras vermelhas)

E aplicamos na fórmula acima:

P6, (3, 2) = \frac{6!}{3! \cdot 2!}

P6, (3, 2) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{2}

P6, (3, 2) = 6 \cdot 5 \cdot 2

P6, (3, 2) = 60

Portanto, podemos formar 60 sinais diferentes com 3 bandeiras azuis, 2 bandeiras vermelhas e uma bandeira branca.

Entendeu?

Bons Estudos!

Para Saber Mais: