Fatoração | Marco Castro

Oi Fábio, tudo bem?

A questão que você postou é sobre MDC. Vamos lá:

Deseja-se descobrir o maior número natural tal que, quando dividimos os números 150 e 654 por esse valor o resto da divisão é 6. E é claro que, ao descobrir esse número, poderemos somar seus algarismos.

Bom, vamos dar um nome para esse número, digamos “d” (de divisor).

Através do Algoritmo da Divisão (de Euclides), que é tão somente escrever a divisão como você conhece de forma linear, isto é, numa única linha, assim:

D = d.q + r

Onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente e r = resto.

Ora, nós temos dois dividendos – 150 e 654 – e queremos determinar um ÚNICO divisor “d” e que deixe resto 6 em ambas as divisões, certo?

Então vamos escrever as expressões para essas duas informações através do algoritmo da divisão:

654 = d.q + 6

150 = d.q’ + 6

Observe que os q e q’ são diferentes, por isso o (‘) em q’, ok?

Subtraindo o 6 no lado esquerdo de ambas as equações, obtemos o seguinte:

650 – 6 = d.q -> 648 = d.q (eq.1)

150 – 6 = d.q’ -> 144 = d.q’ (eq.2)

As equações 1 e 2 nos informam que ambas as divisões – 144 por d e 648 por d – são exatas!

Isto significa que o divisor d é – na verdade – o maior divisor possível e comum entre aqueles dois números, ou seja, ele é o MDC entre 144 e 648.

E, caso você não se lembre, a definição para MDC (máximo divisor comum) é: “o produto dos fatores primos comuns e com menor expoente em todas as fatorações”.

Dito isto, vamos escrever 144 e 648 em suas formas fatoradas:

$144 = 2^{4} \cdot 3^{2}$