Ana Clara e os restos da divisão por 5

Oi Ana Clara, tudo bem?

A dúvida que você postou é simples de ser entendida, embora faça parte de um assunto mais amplo chamado Classe de Restos, que faz parte de um ramo de estudo muito importante da matemática pura chamado Teoria dos Números, que trata do estudo dos números inteiros.

Vamos lá.

Ao efetuar uma divisão entre dois números (inteiros) poderão acontecer duas coisas:

  1. a divisão ser exata e o resto igual a zero; ou
  2. a divisão não ser exata e o resto diferente de zero.

O 1º caso não tem muito o que analisar, uma vez que podemos classificá-lo como sendo a 1ª possibilidade entre os restos de uma divisão, concorda?

Então, vamos analisar o 2º caso.

Se a divisão não for exata, quais serão os possíveis valores (inteiros) para o resto?

Vamos pensar devagar.

Se dividirmos qualquer número (inteiro) por 2, poderemos ter os seguintes restos: zero (divisão exata) ou 1.

Isto porque se o resto (r) for um número maior ou igual a 2 (r > 2) podemos continuar com a divisão, concorda?

Então, o conjunto dos possíveis restos da divisão por 2 será:

r(2) = {0, 1}

Vamos pensar mais um pouco.

Se dividirmos qualquer número (inteiro) por 3, poderemos ter os seguintes restos: zero (a divisão é exata), 1 ou 2.

Pelo mesmo motivo, se o resto for maior ou igual a 3 (r > 3) podemos continuar com a divisão, concorda?

Então, o conjunto dos possíveis restos da divisão por 3 será:

r(3) = {0, 1, 2}

E este resultado pode ser generalizado, observe:

Se n é um inteiro não-nulo, então o conjunto dos possíveis restos de uma divisão por n será:

r(n) = {0, 1, 2, 3, …, n-1}

Assim, em resposta à sua dúvida, o conjunto dos possíveis restos de uma divisão por 5 será igual a:

r(5) = {0, 1, 2, 3, 4 }

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

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O resto da divisão da Regina Sheila

Oi Regina, tudo bem?

A dúvida que você enviou causa dificuldade mesmo porque não é costume da maioria pensar em problemas dessa natureza. Mas é um problema cuja resolução é simples.

Vamos lá.

Primeiro, lembre que o processo de divisão conta com os seguintes elementos: divisor (d), dividendo (D), quociente (q) e resto (r).

Dessa forma, podemos escrever o Algoritmo da Divisão:

D=d \cdot q + r

Agora, vamos pensar no enunciado do problema e usar o Algoritmo da Divisão para as informações dadas, substituindo os valores conhecidos.

Assim:

1. o número p é natural e, quando dividido por 13, deixa resto igual a 5;

p=13 \cdot q + 5

2. qual o resto da divisão de p – 5 por 13?

Observe que, da igualdade anterior, podemos chegar a essa resposta:

p=13 \cdot q + 5

p-5=13 \cdot q

dividindo ambos os lados da igualdade por 13, obtemos

\frac{p-5}{13}=\frac{13 \cdot q}{13}

então

\frac{p-5}{13}=q

Isto significa que a divisão de p – 5 por 13 é igual ao quociente (q) somente, ou seja, a divisão é exata.

E toda divisão exata tem resto igual a zero!

Entendeu?

Aliás, repare que essa informação está implícita no Algoritmo da Divisão que escrevi (ali em cima):

D=d \cdot q + r

D-r=d \cdot q

então

\frac{D-r}{d}=q

ou

\frac{D-r}{q}=d

Então, sempre que subtraírmos o dividendo (D) pelo resto (r), a divisão se torna exata.

Observe um exemplo bem simples: 11 dividido por 2.

É uma continha fácil e rápida de se fazer, inclusive mentalmente, certo?

Mas vamos usar o Algoritmo da Divisão para pensar no resultado acima:

11=2 \cdot 5 + 1

11-1=2 \cdot 5

10=2 \cdot 5

então

\frac{10}{2}=5

ou

\frac{10}{5}=2

Simples, não?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

Paulo e a divisão com decimais

Oi Paulo, tudo bem?

Saiba que a sua dúvida é mais comum do que você imagina, por isso a maioria das pessoas nem toca no assunto. 😉

Vamos lá:

Primeiro, vamos lembrar que a operação divisão popriamente dita é, na verdade, um processo recursivo, isto é, um algoritmo que aplicamos e reaplicamos até quando uma condição é satisfeita.

No caso, essa condição é a seguinte: enquanto o resto (r) da divisão for igual ou maior do que o divisor (d), repetimos o processo.

E isso é equivalente a dizer exatamente o contrário: quando o resto (r) da divisão for menor do que o divisor (d), encerramos o processo. Para divisões onde desejamos apenas quocientes (q) inteiros (ou seja, não decimais com dividendo (D) e divisor (d) também inteiros).

De forma linear, podemos escrever o algoritmo da divisão como:

D = d.q + r

Então, para efetuarmos uma divisão entre números decimais, basta que igualemos o número de casas decimais do para que possamos seguir com o processo descrito acima.

E por que precisamos fazer isso?

Note que todo número decimal é, na verdade, a representação linear de uma fração decimal (ou múltipla desta), assim:

1,2 = \frac{12}{10}

1,23 = \frac{123}{100}

12,345 = \frac{12345}{1000}

Quer dizer, a quantidade de casas decimais após a vírgula sempre indicará quantos zeros haverá no número múltiplo de 10 que será, necessariamente, o denominador da fração.

Então, precisamos fazer isto (igualar o número de casas decimais após a vírgula) para que possamos efetuar o cálculo da divisão dentro do (único) processo conhecido.

Por exemplo, se quero dividir 12,345 por 1,2, devo igualar as casas decimais porquê:

\frac {12,345}{1,2} = \frac{12345/1000}{12/10} = \frac{12345}{1000} \cdot \frac{10}{12} = \frac{12345}{100} \cdot \frac{1}{12} = \frac{12345}{1200}

Então, observe que, para efetuarmos a divisão de 1988,43 por 7,8414, como você sugeriu, precisamos, primeiro, igualar o número de casas decimais, assim:

\frac {1988,43}{7,8414} = \frac{198843/100}{78414/10000} = \frac{198843}{100} \cdot \frac{10000}{78414} = \frac{198843}{1} \cdot \frac{100}{78414} = \frac{19884300}{78414}

Agora, é efetuar a divisão como a conhecemos:

1º passo:

 

198843’00     78414         

  – 156828     2

      42015

 

2º passo:

 

198843′0‘0     78414         

    420150       | 25

 – 392070       |

     28080

  

 3º passo:

 

 198843’0′0′     78414         

     280800       | 253

  – 235242       |

     45558

 

4º passo:

 

 198843’0’0′     78414         

     455580       | 253,5          (colocamos zero no resto para continuar a divisão)

  – 392070       |

      63510

 

5º passo:

 

 198843’0’0′     78414         

     635100       | 253,58       (colocamos zero no resto para continuar a divisão)

  – 627312       |

      77880

 

6º passo:

 

 198843’0’0′     78414         

     778800       | 253,5809     (colocamos zero no resto e no quociente

   – 705726      |                    para continuar a divisão)

      73074

7º passo:

 

 198843’0’0′     78414         

     730740       | 253,58099    (colocamos zero no resto 

   – 705726      |                      para continuar a divisão)

      25014

E vou parar por aqui, já que o exemplo que você escolheu parece não terminar tão cedo…

Mas como você pôde acompanhar, temos uma aproximação bastante razoável (4 casas decimais) para a divisão de 1988,43 por 7,8414.

Se você tiver acesso a uma calculadora científica ou financeira (e, caso não tenha, no seu sistema operacional – Linux ou Windows, tanto faz – você encontrará uma calculadora em INICIAR>PROGRAMAS>ACESSÓRIOS, e no menu EXIBIR poderá escolher pelo formato CIENTÍFICO, de forma a obter mais de duas casas decimais nas operações elementares como esta divisão).

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

A divisão por 7

Lendo um artigo sobre um critério diferente de divisibilidade por 7 na Revista do Professor de Matemática (publicada pela SBMSociedade Brasileira de Matemática), me lembrei da dificuldade que meu filho ainda tem para efetuar divisões.

Isto sem mencionar a grande quantidade de alunos que também não dominam bem certas operações, como a divisão.

Como acho o assunto sobre Critérios de Divisibilidade sempre útil, resolvi compartilhar o artigo.

E conhecer os Critérios de Divisibilidade – pelo menos os mais usados – significa garantir (antes de efetuar a divisão, necessariamente) que um número inteiro será divisível por outro número inteiro.

Mas, primeiro, vamos ao critério clássico, isto é, como saber quando um determinado é – ou não – divisível por 7?

  • Um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos forma um número divisível por 7.

Por exemplo:

1.  35 -> 3 – 10 = -7 -> -7:7 = -1

2.  581 -> 58 – 2 = 56 -> 56:7 = 8

3.  952 -> 95 – 4 = 91 -> 91:7 = 13

4.  7105 -> 710 – 10 = 700 -> 700:7 = 100

No artigo que citei acima, é ensinado um algoritmo simples feito em 2 passos (recursivos ou não) para que se possa verificar com facilidade a divisibilidade por 7.

Por exemplo: o número 3672 é divisível por 7?

1º passo: subtraímos do número o primeiro múltiplo de 7 que termina com o mesmo algarismo, no caso, 2.

3672 – 42 = 3630

2º passo: esquecemos o zero, pois um número terminado em zero é divisível por 7 se e somente se sem o zero ele também for (eliminando zeros estamos dividindo por potências de 10, logo eliminando os fatores primos 2 e 5).

Olhamos para o 363.

Agora, repetimos os dois passos descritos até chegarmos a um número com um ou dois algarismos:

363 – 63 = 300

Olhamos para o 3.

Como 3 não é divisível por 7, então o número 3672 também não é.

Outro exemplo: o número 56924 é divisível por 7?

56924 – 14 = 56910

5691 – 21 = 5670

5677 = 560

e 56 é divisível por 7, logo 56924 também é.

Vamos comparar com os 4 exemplos dados acima:

1. 35 -> 35 – 35 = 0 (e zero é divisível por 7 pois 7 x 0 = 0)

2. 581 -> 581 – 21 = 560 -> 56 é divisível por 7 (pois 7 x 8 = 56) então 581 também é.

3. 952 -> 952 – 42 = 910 -> 91 – 21 = 70 -> 70 é divisível por 7 (pois 7 x 10 = 70) então 952 também é.

4. 7105 -> 7105 – 35 = 7070 -> 707 – 7 = 700 -> 7 é divisível por 7 (óbvio!)

Simples e interessante, não?

Para saber mais:

A divisão “sinistra” do Fábio

Oi Fábio, tudo bem?

A questão que você postou é sobre MDC. Vamos lá:

Deseja-se descobrir o maior número natural tal que, quando dividimos os números 150 e 654 por esse valor o resto da divisão é 6. E é claro que, ao descobrir esse número, poderemos somar seus algarismos.

Bom, vamos dar um nome para esse número, digamos “d” (de divisor).

Através do Algoritmo da Divisão (de Euclides), que é tão somente escrever a divisão como você conhece de forma linear, isto é, numa única linha, assim:

D = d.q + r

Onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente e r = resto.

Ora, nós temos dois dividendos – 150 e 654 – e queremos determinar um ÚNICO divisor “d” e que deixe resto 6 em ambas as divisões, certo?

Então vamos escrever as expressões para essas duas informações através do algoritmo da divisão:

654 = d.q + 6

e

150 = d.q’ + 6

Observe que os q e q’ são diferentes, por isso o () em q’, ok?

Subtraindo o 6 no lado esquerdo de ambas as equações, obtemos o seguinte:

650 – 6 = d.q -> 648 = d.q (eq.1)

e

150 – 6 = d.q’ -> 144 = d.q’ (eq.2)

As equações 1 e 2 nos informam que ambas as divisões – 144 por d e 648 por d – são exatas!

Isto significa que o divisor d é – na verdade – o maior divisor possível e comum entre aqueles dois números, ou seja, ele é o MDC entre 144 e 648.

E, caso você não se lembre, a definição para MDC (máximo divisor comum) é: o produto dos fatores primos comuns e com menor expoente em todas as fatorações”.

Dito isto, vamos escrever 144 e 648 em suas formas fatoradas:

144 = 2^{4} \cdot 3^{2}

e

648 = 2^{3} \cdot 3^{4}

Então:

MDC(144, 648 ) = 2^{3} \cdot 3^{2}=8 \cdot 9=72

Portanto, a soma dos algarismo de 72 vale 7 + 2 = 9.

E como você pode ter certeza de que esse é o valor correto?

Simples: basta dividir 150 por 72 e depois 654 por 72, você vair ver que vai dar resto 6 nas duas contas. 😉

No mais é isso aí.

Abraços.