Celton e as ondas eletromagnéticas

O Celton enviou a seguinte questão:

“Olá professor,

Estou estudando o comportamento das ondas eletromagnéticas e me deparei com o seguinte dilema: Como essas ondas se propagam no vácuo se não existe nenhum agente intermediador para transmissão dessa energia, como por exemplo o caminho percorrido pela luz do sol até a terra. Outra coisa intrigante também são como ocorrem as interações a distancia, como as forças elétricas e magnéticas. A ciência já descobriu um agente que intermedia interações como forças elétricas e magnéticas? Neste link:http://sisne.org/Disciplinas/Grad/FisicaBasica2IBM/aula2.pdf eu vi na página 3 um trecho de uma carta escrita por newton onde este afirmou ser absurdo não existir uma agente intermediador dessas interações.

Desde já agradeço.”

Então Celton, o que se sabe até o presente momento é que as ondas eletromagnéticas são campos elétrico propagantes. Elas são uma combinação dos campos elétrico e magnético que se propagam no vácuo perpendicularmente um em relação ao outro e na direção de propagação da energia.

Isto acontece porque cada variação no campo magnético induz uma variação no campo elétrico e vice-versa, ou seja, numa onda eletromagnética, o campo elétrico é gerado pelo campo magnético que, por sua vez, é gerado pelo campo elétrico, formando uma perturbação autossustentável que se propaga tanto pelo vácuo quanto em certos meios materiais. Essa variação acontece devido à movimentação das cargas elétricas e magnéticas, cujo movimento de vibração gera uma perturbação periódica no espaço, gerando esses campos elétricos e magnéticos que oscilam com a mesma frequência de vibração das cargas.

Podemos caracterizar uma onda eletromagnética da mesma forma que caracterizamos as ondas em geral: pela sua frequência f, seu comprimento de onda λ, sua velocidade de propagação v e sua amplitude. Como as ondas eletromagnéticas são transversais, também podem se caracterizar pela direção da vibração do campo elétrico.

Resumindo: as ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo e transportam energia, devido à natureza da sua origem (interações entre os campos elétrico e magnético).

E onda eletromagnética transporta energia?

Sim. Pense na radiação solar. Se você ficar muito tempo exposto a ela, sentirá na pele (literalmente!) a sua energia…

Espero ter ajudado.

Forte abraço e bons estudos!

Para saber mais (links das fontes):

• Ondas Eletromagnéticas (UFSC)
• Algo sobre física – Ondas Eletromagnéticas
• Físico Maluco
• Planet Seed
• Wikipédia – Ondas Eletromagnéticas
• Wikipédia – Radiação Eletromagnética

A corrida do Cleiton

Olá Cleiton, tudo bem?

A dúvida que você tem é – realmente – de muita gente também.   Mas as pessoas, por vergonha ou outra coisas qualquer não perguntam, ao contrário de você.

Vamos lá.

Quando estudamos os movimentos horizontais lineares na Física, no ramo  da Dinâmica, aprendemos algumas coisas bem interessantes, como as relações matemáticas exitentes entre deslocamento (Δs), velocidade (v), aceleração (a) e intervalo de tempo (Δt).

Acontece que a situação descrita envolve movimentos circulares conjugados com movimentos lineares horizontais e suas mensurações.

Parece difícil, mas é muito simples de compreender.

No movimento circular, levamos em consideração o raio (r) do círculo.   Caso não lembre, raio (r) é a distância entre o centro do círculo e um ponto qualquer da borda (do círculo).

Imagine o seguinte: um disco girando em uma rotação qualquer e, sobre esse disco, dois pontos distintos A e B, ambos sobre o mesmo segmento que contém o raio do círculo, sendo que o ponto A está entre o centro do círculo e o ponto B e, o ponto B, está mais afastado do centro, isto é, entre o ponto A e a borda do círculo.

Imaginou? (Faça um desenho se não conseguir visualizar mentalmente essa imagem).

Note que ambos os pontos A e B giram com a mesma velocidade (nesse caso chamada de angular) e o deslocamento efetuado a cada volta completa equivale ao perímetro descrito em função da distância do centro do círculo a cada um dos pontos A e B, ou seja, a distância do centro ao ponto B é maior do que a distância do centro ao ponto A, isso significa que o perímetro descrito pelo ponto A é menor do que o perímetro descrito pelo ponto B.

E o que é o perímetro?

É a medida (linear) de uma volta completa.

Sua expressão matemática é

2p = 2πr

Então, podemos pensar o seguinte: a distância do centro ao ponto A vale r e a distância do centro ao ponto B vale R, com R > r.

Não é difícil perceber que, na expressão do perímetro (acima) obtemos o seguinte:

2p = 2πr e 2P = 2πR

Logo,

2P > 2p

Ou seja, quanto maior o raio, maior o perímetro.

Agora, vamos voltar ao seu questionamento: as rodas dos veículos têm tamanhos diferentes.

Em outras palavras, quanto maior a roda, maior o perímetro.

Como o perímetro é uma medida linear, significa que se existem duas rodas de tamanhos diferentes girando a uma mesma velocidade, a roda maior percorrerá uma distância maior do que a roda menor.

Por isso que, a mesma velocidade, um caminhão chegará primeiro do que uma moto em uma corrida, porque a roda da moto é menor do que a roda do caminhão.   A moto percorre uma distância menor do que o caminhão.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Para Saber Mais:

• Alunos Online
• Wikipédia
• Educar

Kamilla e a força elétrica

Olá Kamilla, tudo bem?

A dúvida que você postou (apesar do desespero) é, na verdade, simples de ser resolvida e faz parte do conteúdo de física chamado Eletrostática.

Aliás, a questão do fenômeno físico em si é – também – extremamente simples porque, como você já deve saber, cargas elétricas com sinais opostos se atraem, com sinais iguais se repelem. E pronto!

Agora, chegar a um resultado matemático sobre alguns desses problemas é que causam dúvidas, não é?

Veja, nese caso os dois pontos que geram as maiores dúvidas são em conteúdos matemáticos e não físicos: operações com potências de dez (números escritos em notação científica) e propriedades das potências (principalmente as duas mais conhecidas e usadas: produto e quociente de potências de mesma base).

Vamos lá.

As cargas elétricas possuem mesmo valor e mesmo sinal então, não poderia ser diferente do enunciado do problema: elas irão se repelir mesmo…

Nesse caso podemos representar ambas as cargas por uma única letra, digamos “q“.

A expressão para a determinação da Força Elétrica entre duas cargas elétricas é

Onde:

F: é a Força Elétrica (N = Newton – unidade de força) de interação entre as cargas elétricas e

K: Constante Eletrostática (k = 9.10⁹ N.m²/C²)

q: Carga Elétrica (C= Coulomb – unidade de carga elétrica)

d: Distância entre as cargas elétricas (m = metro – unidade de distância)

Bem, as informações dadas no enunciado do problema são as seguintes:

F = ? (é o que desejamos calcular, certo?)

K = 9.10⁹ N.m²/C² (seu valor não é dado no enunciado, mas em geral os alunos devem (ou deveriam saber)

q = (em módulo, já que ambas as duas cargas são negativas)

d = (medida da distância entre as duas cargas elétricas dadas)

Agora, basta substituir os valores informados (e devidamente convertidos para as unidades do S.I., quando for o caso) na fórmula descrita acima:

Ou seja, nas condições dadas no problema, a força de repulsão entre as duas cargas será de N.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Para Saber Mais:

• Wikipédia
• Uol Educação
• UFRGS – Instituto de Física

As gotas do Fábio

Oi Fábio, tudo bem?

A dúvida que você postou trata de um tópico da Física chamado Queda Livre, cuja análise é feita de maneira análoga ao Movimento Univformemente Variado (MUV).

Só que na vertical, claro… 😉

Para resolver esse problema, você deve entender bem a situação física para, então, efetuar os devidos cálculos utilizando as devidas “ferramentas”, que são as fórmulas matemáticas.

Vamos lá.

Temos uma torneira que está exatamente a 1,0 metro do solo e que pinga 3 gotas a cada minuto.

É bom lembrar que esta situação representa um modelo de estudo, para que possamos considerar que as 3 gotas tenham a mesma massa.

Vamos analisar a situação:

G1, G2 e G3 são as três gotas consecutivas que pingam durante o intervalo de 3 minutos.

Para determinarmos a velocidade com que uma gota (no caso a primeira, G1) atinge o solo, precisamos usar a Função Horária da Velocidade para o movimento em Queda Livre.

E qual é essa fórmula?

Observe:

Na verdade, o movimento em Queda Livre tem características simples que facilitam a análise.

A velocidade inicial é nula, isto é:

V₀ = 0 m/s

E a gravidade (que aqui aproximarei o valor para 10,0 m/s²) é a única aceleração atuante na variação da velocidade da gota, ou seja, à medida que a gota cai, sua velocidade aumenta (até atingir o solo).

Agora é preciso lembrar da Função Horária da Velocidade (para o MUV HORIZONTAL) :

V(t) = V₀ + at

Onde:

V(t) = velocidade no tempo “t”;

V₀ = velocidade inicial (em m/s);

a = aceleração (em m/s²);

t = tempo (em segundos)

Comparando essa expressão de um movimento (acelerado) horizontal com a situação dada (movimento acelerado vertical), podemos concluir que:

V(t) = velocidade no tempo “t”;

V₀ = 0 m/s (zero ou nula, já que a gota está “parada” dentro do cano antes de cair);

a = g (aceleração da gravidade; com g < 0);

t = tempo (em segundos)

E, nesse caso, a Função Horária da Velocidade (para um movimento acelerado vertical) pode ser escrita como:

V(t) = gt

E o problema estaria resolvido se soubéssemos o valor de “t”, isto é, quanto tempo uma gota (no caso a primeira, G1) gasta para atingir o solo.  Isto significa que precisamos calcular esse tempo primeiro.

Para isso, podemos utilizar a Função Horária dos Espaços (para o MUV), que fornece a posição do móvel em função do tempo.   A expressão básica para essa função é:

S(t) = S₀ + V₀t + at²/2

Analogamente, podemos fazer a análise comparativa com o movimento de Queda Livre, para encontrarmos a expressão:

H(t) = H₀ + gt²/2

Note que H(t) representa a distância percorrida (no caso, altura) em função do tempo “t”.   O valor da gravidade “g”, deverá ser negativo, por ter sinal contrário ao da trajetória (positiva, de baixo para cima).

Então:

H(t) = H₀ + gt²/2

0 = 1,0 + (-10)t²/2

1,0 = 5t²

t² = 1/5

t = √5/5

ou, aproximadamente,

t = 0,45 seg

Uma vez determinado o tempo que uma gota leva para cair 1,0 metro, podemos determinar com que velocidade ela atinge o solo usando a Função Horária da Velocidade:

V(t) = gt

V = (-10) x √5/5

V = -2√5 m/s

ou, aproximadamente,

V = – 4,5 m/s

Observe que o sinal da velocidade é negativo.   Ele (o sinal negativo) apenas indica que o sentido do movimento é contrário ao sentido da trajetória estabelecida (positiva, de baixo para cima).

Agora, para determinarmos o intervalo de de tempo (Δt) que separa a batida de duas gotas no solo, basta um pouco mais de atenção à situação.

Observe:

A situação-problema pode ser descrita através da seguinte seqüência:

···Δt → G1 → Δt → G2 → Δt → G3 →Δt···

1. cai a primeira gota (G1)

···Δt → G1

2. após um intervalo de tempo (Δt) cai a segunda gota (G2)

···Δt → G1 → Δt → G2

3. após um intervalo de tempo (Δt) cai a terceira gota (G3)

··Δt → G1 → Δt → G2 → Δt → G3

Considerando o modelo da situação-problema, vamos supor que não haja nenhum tipo de atrito ou fator que possa modificar o tempo com que cada gota cai, ou seja, as 3 gotas gastam o mesmo tempo para atingir o solo e o intervalo de tempo (Δt) entre a primeira gota (G1) e a segunda (G2) e a segunda (G2) e a terceira (G3) são iguais.

Na verdade, quando a terceira gota (G3) atinge o solo o tempo alcança a marca dos 3 minutos porque a razão dada no enunciado do problema é exatamente esta: 3 gotas/min.

Isto significa que após a terceira gota (G3) ter atingir o solo e decorrer o mesmo intervalo de tempo (Δt) entre as gotas, o “pinga-pinga” recomeça.

Concorda?

Então, através de uma igualdade simples podemos determinar o intervalo de tempo que separa as batidas de duas gotas  consecutivas no solo.

Veja:

Se somarmos todos os tempos (que as gotas gastam para atingir o solo mais o intervalo entre elas) teremos um total de 3 minutos.

Observe novamente a seqüência descrita acima com os respectivos tempos inseridos no contexto:

1. cai a primeira gota (G1) → tempo de queda: t = 0,45s
2. após um intervalo de tempo (Δt) cai a segunda gota (G2) → tempo de queda: t = 0,45s
3. após um intervalo de tempo (Δt) cai a terceira gota (G3) → tempo de queda: t = 0,45s

Assim, podemos escrever a seguinte igualdade:

tempo de queda gasto pela G1 + tempo entre G1 e G2 + tempo de queda gasto pela G2 + tempo entre G2 e G3 + tempo de queda gasto pela G3 = 3 minutos

0,45 + Δt + 0,45 + Δt + 0,45 = 3 minutos

3 x 0,45 +2Δt = 3 x 60 = 180 segundos

2Δt = 180 – 1,35

2Δt = 178,65

Δt = 178,65/2

Δt = 89,325 segundos

ou, aproximadamente,

Δt = 1,49 minutos

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Para Saber Mais:

• Brasil Escola
• Wikipédia
• Yahoo GeoCities – Sala de Física

Denise e a definição do Litro

Olá Denise, tudo bem?

A dúvida que você postou trata-se, na verdade, de entender uma definição.   Para facilitar, tente entender “definição” como uma “regra” de um Jogo.

Por exemplo, o metro.   Sua definição é a seguinte:

“O metro é o comprimento da distância percorrida pela luz no vácuo, durante um intervalo de 1/299.792.458 segundos” (17ª CGPM de 1983 – Resolução nº 1).

Quer dizer, é através da definição que outras informações passarão a ter significados (variados), devido a essa referência.

Dito isto, vamos pensar:

O Sistema Internacional de Medidas prevê apenas 7 unidades de grandezas (chamadas de Unidades de Base, todas distintas e independentes entre si), são elas:

 

Unidades de Base

Grandeza	Unidade SI	Símbolo
Comprimento	metro	m
Massa	quilograma	kg
Tempo	segundo	s
Intensidade de corrente eléctrica	ampere	A
Temperatura termodinâmica	kelvin	K
Quantidade de matéria	mole	mol
Intensidade luminosa	candela	cd

Por outro lado, da Geometria Espacial, podemos determinar o volume de um cubo cujas arestas tenham medidas iguais a 1 metro, ou seja, o volume deste cubo será de 1m³.

E aqui surge a relação entre as duas medidas de volume conhecidas: o metro cúbico (m³) e o Litro (L) porque, na verdade, o Litro é definido como um outro múltiplo decimal no Sistema de Medidas, isto é:

1m³ = 1000L = 10³L

Isto significa que em um cubo cujas arestas medem 1 metro tem uma capacidade de volume equivalente a 1000 litros.

E se pensarmos nos submúltiplos das duas unidades acima, poderemos facilmente concluir porque 1dm³ = 1L.

Veja só:

km³     hm³     dam³     m³     dm³     cm³     mm³

kL       hL       daL       L       dL       cL       mL

Note que a equivalência dos múltiplos e submúltiplos – em ambas as medidas –  permanece conforme conhecemos.

Então:

1m³ = 1000dm³ = 10³dm³ = 10³L

Logo,

1dm³ = 1L

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

• IPEM – Instituto de Pesos e Medidas de São Paulo
• CONMETRO – Conselho Nacional de Metrologia
• Sistema Internacional de Medidas – Cadernos Técnicos

A régua do Jean

Oi Jean, tudo bem?

Antes de mais nada, verifique o enunciado da 1ª questão que você postou, porque me surgiram dúvidas, como:

1. “Uma barra de estanho tem uma forma de prisma reto de base 4cm²” – A base de todo prisma reto é – em geral – um polígono regular.   Não é dito qual é o polígono da base.

2. “Determine o comprimento e o volume dessa barra à temperatura de 518°F“. – Trata-se de uma resolução de Dilatação Volumétrica.   Isto significa que é preciso se calcular o volume inicial do prisma, cuja fórmula geral  é:

Volume = Área da Base x Altura

Não é informada a medida da altura do prisma, somente o comprimento, que vale 1m.   E aqui temos uma situação – no mínimo – equivocada porque, se a área da base mede 4cm², então o comprimento NÃO poderia medir 1m.   A menos – é claro – que essa medida seja da altura do prisma.    Aí o problema passa a fazer sentido.

Depois que você confirmar isso, volte a postar (confirmando ou retificando) o enunciado, ok?

Dito isto, vamos à 2ª questão.

* * * * * * * * * *

A sua dúvida é, como várias que respondi aqui mesmo no blog, uma aplicação direta do conceito de dilatação térmica dos sólidos e a correta aplicação da fórmula, claro.

Vamos lá então:

De forma geral, o problema é o seguinte: qual será a (nova) temperatura da régua para que a medida passe a variar 1mm a mais, certo?

Para resolver um problema desse tipo, usamos a expressão própria para a Dilatação Linear:

∆L = L₀ . α . ∆T

Onde:

• ∆L = L – L₀: é a variação entre as medidas final e inicial (ou propriamente o valor da dilatação – ou contração – ocorrida)
• α: é o coeficiente de dilatação linear (valor de referência que indica o quanto uma substância varia – em unidade de medida – a cada grau de temperatura).
• ∆T = T – T₀: é a variação entre as temperaturas final e inicial da substância

(Aliás, esse raciocínio é análogo para as dilatações superficial e volumétrica dos sólidos).

Então, retiramos do enunciado do problema as informações necessárias:

 T = ? (temperatura final do fio – é o que desejamos calcular, certo?)

T₀ = 20°C (temperatura inicial da régua))

α_latão = 19 x 10^-6 °C^-1  (coeficiente de dilatação linear da régua)

ΔL = L – L_o (variação do comprimento do fio)

Observe que, o aumento de 1mm na medida original devido à variação da temperatura (que certamente aumentou, concorda?) corresponde à variação do comprimento (ΔL) e o resultado de 30cm (L) corresponde à medida inicial (L_o) acrescida do erro (ΔL).

(E aqui é preciso fazer uma observação importante porque, esse enunciado permite duas interpretações: (1ª) o erro de 1mm ser acrescido na medida de 30cm ou; (2ª) o erro de 1mm ser acrescido na medida inicial resultando nos 30cm.   A solução comentada que farei aqui será com base na (2ª) interpretação, ok?   Mas fique tranquilo porque, se você quiser resolver pela (1ª) interpretação, a resolução será análoga.)

Então, podemos escrever a última igualdade acima da seguinte maneira:

ΔL = L – L_o 

1mm = 30cm – L_o

Mas note que as unidades de medidas são diferentes.   Temos que converter uma delas para efetuarmos os cálculos corretamente.   E isto é simples porque, se 1cm = 10mm, logo 30cm = 300mm, certo?

Então:

ΔL = L – L_o 

 1mm = 30cm – L_o

L_o = 300mm – 1mm

L_o = 300 – 1

L_o = 299

Logo, a medida inicial da régua era de 299mm.

Agora podemos substituir as informações na fórmula da Dilatação Térmica Linear:

∆L = L₀ . α . ∆T

1 = 299 . 19.10^-6 . (T – 20)

1 = 5681.10^-6 . (T – 20)

1 / 5681.10^-6 = T – 20

T – 20 = 1 / 5681.10^-6 

T – 20 = 1 / 0,005681

T = 176,03 + 20

T = 196,03

Portanto – e por mais absurdo que pareça – é preciso que a régua de latão atinja uma temperatura aproximada de 196°C (quer dizer: 176°C a mais!) para aumentar 1mm no seu comprimento e provoque esse erro nas medidas.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

• Wikipédia
• Brasil Escola
• Física Fácil

A viagem da Caroline

Oi Caroline, tudo bem?

O problema que você tem dúvida, interpretado com calma, fica fácil de ser montado e, consequentemente, solucionado.

Primeiro, vamos chamar de “v”, a velocidade média e de “t”, o tempo gasto no percurso de 360km.

Assim, podemos traduzir as informações dadas, observe:

“Um automóvel viajando em determinada velocidade média completou um percurso de 360km em t horas.“  Então:

v = 360/t     (1ª eq.)

“Caso essa velocidade fosse aumentada em 30km/h, a viagem teria durado uma hora a menos.“  Então:

v + 30 = 360/t – 1     (2ªeq.)

Notou que dessa forma obtemos um sistema de equações do 1° grau (com v e t)?

Agora ficou simples.   Basta substituirmos a 1ª equação na 2ª equação:

360/t + 30 = 360/t – 1

(360 + 30t)/t = 360/t – 1

(360 + 30t)(t – 1) = 360t

360t – 360 + 30t² – 30t = 360t

 – 360 + 30t² – 30t = 0

 30t² – 30t – 360 = 0

(÷ 30)

 t² – t – 12 = 0

A equação quadrática encontrada possui raízes iguais a -3 e 4 (verifique!) e, como a grandeza calculada é o tempo t, não precisamos do valor negativo, pois não traduz significado físico ao problema, certo?

Portanto, o tempo gasto na viagem foi de 4 horas.

Entendeu?

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

• Educar/USP: Conceitos Básicos
• Wikipédia: Cinemática
• Matemática Essencial

 

Diego e o paralelepípedo

Oi Diego, tudo bem?

A sua dúvida é, como várias que respondi aqui mesmo no blog, uma aplicação direta do conceito de dilatação térmica dos sólidos e a correta aplicação da fórmula, claro. 😉

Vamos lá então:

De forma geral, o problema é o seguinte: qual será o (novo) volume do paralelepípedo quando a temperatura variar, certo?

Observe que, como a variação da temperatura é negativa (ela passa de 20ºC para -10ºC, portanto, diminui) o que acontecerá com o volume do sólido é que ele irá diminuir. Esse processo é chamado de contração térmica, que é – exatamente – o contrário da dilatação térmica.

E para resolver matematicamente esse problema, precisamos usar a fórmula para a dilatação volumétrica dos sólidos, que é:

ΔV = V_o x γ x ΔT

Então, retiramos do enunciado as informações necessárias para a resolução do problema:

V_o = (1000 x 1500 x 2000) cm³ = (1,0 x 1,5 x 2,0) m³ = 3,0 m³ (volume inicial do paraleleípedo)

T_o = 20°C (temperatura inicial do paraleleípedo)

T = -10°C (temperatura final do paraleleípedo)

α_alumínio = 24 x 10^-6 °C^-1  (coeficiente de dilatação linear do aluminío)

ΔV = ? (ΔV = V – V_o  = variação do volume do paralelepípedo – é o que desejamos calcular para determinarmos o volume final, certo?)

Agora, lembre que existe uma relação entre os coeficientes de dilatação linear (α), superficial (β) e volumétrica (γ):

 β = 2α

e

γ = 3α

Desta forma, podemos substituir as informações dadas na fórmula:

ΔV = V_o x γ x ΔT

ΔV = 3,0 x 3.24.10^-6 x (-10 – 20)

ΔV = 3,0 x 72.10^-6 x (-30)

ΔV = 216.10^-6 x (-30)

ΔV = 216.10^-6 x (-30)

ΔV = -6480.10^-6

ΔV = -0,0648

Ou seja, o volume do paralelepípedo variou – negativamente – 0,0648 m³.   Isto significa que houve uma contração térmica (o volume reduziu), como era de se esperar realmente.

Agora ficou fácil determinar o volume final, pois:

ΔV = V – V_o 

-0,0648 = V – 3,0

3,0 – 0,0648 = V

V = 2,99352

Portanto, o volume final do paralelepípedo será de 2,99352 m³.

Entendeu?
Bons Estudos!

Para Saber Mais:

• Cola da Web – Física
• Geocities – Galileon
• Wikipédia

O fio de alumínio da Maria

Oi Maria, tudo bem?

A dúvida que você enviou por e-mail foi essa:

“Boa Tarde, Prof. Marcos.

 Gostaria de obter sua ajuda, no cálculo abaixo. Se não for incomodar-lhe.

 O comprimento de um fio de alumínio é de 25M a uma temperatura de 20º C.  Calcule a sua dilatação linear quando aquecemos o fio até 60ºC.  O coeficiente de dilatação linear do alumínio é 24 X 10 -6 ºC.

Obrigada pela atenção.”

Maria, esse problema é simples porque trata de uma aplicação direta da fórmula de dilatação linear (dos sólidos), que é a seguinte: 

ΔL = L_o x α x ΔT 

Então, retiramos do enunciado do problema as informações necessárias:

 L_o = 25 metros (comprimento inicial do fio)

T_o = 20°C (temperatura inicial do fio)

T = 60°C (temperatura final do fio)

α_alumínio = 24 x 10^-6 °C^-1  (coeficiente de dilatação linear do fio)

ΔL = ? (ΔL = L – L_o  = variação do comprimento do fio – é o que desejamos calcular, certo?)

Observe que, dos dados acima, já podemos calcular a variação de temperatura (ΔT) ocorrida: 

ΔT = T – T_o

ΔT = 60 – 20

ΔT = 40°C 

Agora, é só substituir na fórmula da dilatação linear os dados que temos, veja só: 

ΔL = L_o x α x ΔT

ΔL = 25 x 24 x 10^-6 x 40

ΔL = 600 x 10^-6 x 40

ΔL = 24000 x 10^-6

ΔL = 24 x 10³ x 10^-6

ΔL = 24 x 10^-3

ou

ΔL = 0,024 

Assim, a dilatação ocorrida no fio de alumínio, quando ele sofre um aumento de temperatura de 20°C até 60°C é de 0,024 metros.

Entendeu?

Obs.: Sugiro que você – se estiver com tempo – leia também a solução da dúvida do André, que trata do mesmo assunto.  (Para ler, clique aqui).

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

• Wikipédia
• Brasil Escola
• Física Fácil

A viagem da Caroline

Oi Caroline, tudo bem?

Esse problema que você tem dúvida se torna simples quando interpretado corretamente do “português” para o “matematiquês“.

“Mas o problema não é de Física?” – você poderia perguntar.   Sim, é.   Mas o conceito físico envolvido no problema (velocidade média no movimento uniforme) é simples.

Para que você compreenda melhor, vou chamar de “v” a velocidade média e de “t“, o tempo gasto no percurso.

Além disso, você não pode esquecer que a definição de velocidade média é o quociente entre a variação das posições (de um móvel) pela variação de tempo (gasto no percurso), isto é: 

v = ΔS/Δt 

Então vamos lá. 

“Um automóvel viajando em determinada velocidade média completou um percurso de 360km em t horas.“ 

Então,

v = 360/t     (eq. 1)

 “Caso essa velocidade fosse aumentada em 30km/h a viagem teria durado uma hora a menos.“ 

Então, 

v + 30 = 360/(t-1)     (eq. 2)

 Observe que as duas equações acima formam um sistema do 1° grau de duas variáveis (no caso, incógnitas – v e t) e, para resolvê-lo, basta substituir a 1ª equação na 2ª. 

Assim: 

360/t + 30 = 360/(t-1)

(360 + 30t)/t = 360/(t-1)

(360 + 30t)(t-1) = 360t

360t – 360 + 30t² – 30t = 360t

30t² – 30t – 360 = 0

(÷30)

t² – t – 12 = 0 

E a equação quadrática encontrada possui raízes iguais a -3 e 4 (verifique!) sendo que, o valor negativo não traduz significado físico para o problema (em outras palavras: não “existe” tempo negativo).

Portanto, o valor procurado é t = 4h, ou seja, a viagem durou 4 horas. 

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

• Educar/USP: Conceitos Básicos
• Velocidade Média/ Velocidade Instantânea – UnB
• Matemática Essencial: Sistemas de Equações do 1º grau