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A P.A. do Moisés

Olá Moisés, tudo bem?

A dúvida que você enviou é relativamente simples de resolver.

Vamos lá.

Para que um número seja divisível simultaneamente por 3 e por 7, ele deve ser divisível por 3 \cdot 7 = 21.

Dessa forma o que precisamos é determinar a PA com razão r = 21 entre 1 e 5000, concorda?

Assim, o primeiro termo dessa PA é o próprio 21, certo?

E o último termo?

Observe que 5000 não é múltiplo de 3 nem de 7.   Então precisamos determinar o último número múltiplo de 21 menor do que 5000.   E isso é fácil, veja só.

Quando dividimos 5000 por 21, encontramos o quociente 238 e resto 2.   Então, podemos escrever essa divisão da seguinte forma:

5000 = 238 \cdot 21 +2

Então

238 \cdot 21 = 5000 - 2 = 4998

Ou seja, 4998 é o maior múltiplo de 3 e 7 simultaneamente menor do que 5000.

Agora, basta aplicarmos a expressão do Termo Geral da PA para resolvermos o problema.

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r

4998 = 21 + (n - 1) \cdot 21

4998 = 21 + 21n -21

4998 = 21n

n = \frac {4998}{21}

n = 238

Logo, existem 238 números inteiros múltiplos de 3 e 7 simultaneamente compreendidos entre 1 e 5000.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

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