A régua do Jean

Oi Jean, tudo bem?

Antes de mais nada, verifique o enunciado da 1ª questão que você postou, porque me surgiram dúvidas, como:

1. “Uma barra de estanho tem uma forma de prisma reto de base 4cm²” - A base de todo prisma reto é - em geral - um polígono regular.   Não é dito qual é o polígono da base.

2. “Determine o comprimento e o volume dessa barra à temperatura de 518°F“. - Trata-se de uma resolução de Dilatação Volumétrica.   Isto significa que é preciso se calcular o volume inicial do prisma, cuja fórmula geral  é:

Volume = Área da Base x Altura

Não é informada a medida da altura do prisma, somente o comprimento, que vale 1m.   E aqui temos uma situação - no mínimo - equivocada porque, se a área da base mede 4cm², então o comprimento NÃO poderia medir 1m.   A menos - é claro - que essa medida seja da altura do prisma.    Aí o problema passa a fazer sentido.

Depois que você confirmar isso, volte a postar (confirmando ou retificando) o enunciado, ok?

Dito isto, vamos à 2ª questão.

* * * * * * * * * *

A sua dúvida é, como várias que respondi aqui mesmo no blog, uma aplicação direta do conceito de dilatação térmica dos sólidos e a correta aplicação da fórmula, claro.

Vamos lá então:

De forma geral, o problema é o seguinte: qual será a (nova) temperatura da régua para que a medida passe a variar 1mm a mais, certo?

Para resolver um problema desse tipo, usamos a expressão própria para a Dilatação Linear:

∆L = L₀ . α . ∆T

Onde:

• ∆L = L - L₀: é a variação entre as medidas final e inicial (ou propriamente o valor da dilatação - ou contração - ocorrida)
• α: é o coeficiente de dilatação linear (valor de referência que indica o quanto uma substância varia - em unidade de medida - a cada grau de temperatura).
• ∆T = T - T₀: é a variação entre as temperaturas final e inicial da substância

(Aliás, esse raciocínio é análogo para as dilatações superficial e volumétrica dos sólidos).

Então, retiramos do enunciado do problema as informações necessárias:

 T = ? (temperatura final do fio - é o que desejamos calcular, certo?)

T₀ = 20°C (temperatura inicial da régua))

α_latão = 19 x 10^-6 °C^-1  (coeficiente de dilatação linear da régua)

ΔL = L - L_o (variação do comprimento do fio)

Observe que, o aumento de 1mm na medida original devido à variação da temperatura (que certamente aumentou, concorda?) corresponde à variação do comprimento (ΔL) e o resultado de 30cm (L) corresponde à medida inicial (L_o) acrescida do erro (ΔL).

(E aqui é preciso fazer uma observação importante porque, esse enunciado permite duas interpretações: (1ª) o erro de 1mm ser acrescido na medida de 30cm ou; (2ª) o erro de 1mm ser acrescido na medida inicial resultando nos 30cm.   A solução comentada que farei aqui será com base na (2ª) interpretação, ok?   Mas fique tranquilo porque, se você quiser resolver pela (1ª) interpretação, a resolução será análoga.)

Então, podemos escrever a última igualdade acima da seguinte maneira:

ΔL = L - L_o 

1mm = 30cm - L_o

Mas note que as unidades de medidas são diferentes.   Temos que converter uma delas para efetuarmos os cálculos corretamente.   E isto é simples porque, se 1cm = 10mm, logo 30cm = 300mm, certo?

Então:

ΔL = L - L_o 

 1mm = 30cm - L_o

L_o = 300mm - 1mm

L_o = 300 - 1

L_o = 299

Logo, a medida inicial da régua era de 299mm.

Agora podemos substituir as informações na fórmula da Dilatação Térmica Linear:

∆L = L₀ . α . ∆T

1 = 299 . 19.10^-6 . (T - 20)

1 = 5681.10^-6 . (T - 20)

1 / 5681.10^-6 = T - 20

T - 20 = 1 / 5681.10^-6 

T - 20 = 1 / 0,005681

T = 176,03 + 20

T = 196,03

Portanto - e por mais absurdo que pareça - é preciso que a régua de latão atinja uma temperatura aproximada de 196°C (quer dizer: 176°C a mais!) para aumentar 1mm no seu comprimento e provoque esse erro nas medidas.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

• Wikipédia
• Brasil Escola
• Física Fácil

Karen e os algarismos

Oi Karen, tudo bem?

A dúvida que você postou trata de um assunto chamado Análise Combinatória, mais especificamente Arranjo Simples.

Nessa questão, você deve observar a quantidade de algarismos que compõe os números compreendidos entre 300 e 3000.   Repare que esse conjunto finito pode (e deve) ser dividido em dois subconjuntos menores e em função da quantidade de algarismos para melhorar o entendimento, ou seja, o primeiro subgrupo com os números de 3 algarismos (300 a 999) e o segundo grupo com os números de 4 algarismos (1000 a 3000).   Assim:

{300, …, 3000} = {300, …, 999} ∪ {1000, …, 3000}

Isto irá facilitar a resolução da questão pois, separando dessa forma, podemos calcular a quantidade de números em função quantidade de algarismos dos elementos (como disse ali em cima: 3 e 4 alagarismos) que compõe cada subconjunto, certo?

Para lembrar, a fórmula para o Arranjo Simples é dada pela expressão:

A_{n, p} = n!/(n-p)!

Onde n é o número total de elementos do conjunto que estamos trabalhando e p o número de elementos dos subgrupos distintos (arranjos) que podem ser formados.   Além disso, queremos apenas que apareçam os seguintes alagarismos {1, 2, 3, 5, 7, 8}, correto?   (Por exemplo, números como 122, 585, 1377 ou 2888 não serão computados nesse cálculo porque um ou mais de algarismo se repete na composição do número).

Assim, o resultado que desejamos calcular é a soma dos resultados de cada subgrupo, ou seja:

Resultado Final = A_{6, 3} + A_{6, 4}

Então vamos lá:

Para o primeiro grupo de número com 3 algarismos apenas, queremos formar arranjos (subgrupos = números) com os 6 elementos dados (1, 2, 3, 5, 7 e 8) tomados 3 a 3 (cada subgrupo deverá ter somente 3 daqueles 6 elementos SEM que nenhum deles se repita).   Aplicando na fórmula, obtemos o seguinte:

A_{n, p} = n!/(n-p)!

A_{6, 3} = 6!/(6-3)!

A_{6, 3} = 6!/3!

A_{6, 3} = 6 x 5 x 4 x 3! / 3!

A_{6, 3} = 6 x 5 x 4

A_{6, 3} = 120

Portanto, podemos formar 120 números números distintos de 3 algarismos com os 6 algarismos do conjunto {1, 2, 3, 5, 7, 8}.

Para o segundo grupo de números com 4 algarismo apenas, procedemos de maneira análoga à anterior: 

A_{n, p} = n!/(n-p)!

A_{6, 4} = 6!/(6-4)!

A_{6, 4} = 6!/2!

A_{6, 4} = 6 x 5 x 4 x 3 x 2! / 2!

A_{6, 3} = 6 x 5 x 4 x 3

A_{6, 3} = 360

Portanto, podemos formar 360 números distintos de 4 algarismos com os 6 algarismos do conjunto {1, 2, 3, 5, 7, 8}.

Logo, o resultado (R) que procuramos é a soma dos dois resultados encontrados, ou seja:

R = A_{6, 3} + A_{6, 4}

R = 120 + 360

R = 480

Portanto, poderemos formar 480 números distintos entre 300 e 3000 utilizando apenas os algarismos {1, 2, 3, 5, 7, 8}.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

• Brasil Escola
• AlgoSobre.com
• Matemática Essencial

O Trenzinho da Raquel

Oi Raquel, tudo bem?

A dúvida que você postou é - de fato - sobre MMC.

Mas entenda que, não basta conhecer a definição ou simplesmente saber efetuar o cálculo para determinar o MMC entre dois ou mais números (ou o MDC) para que a solução de um problema apareça.

Na maioria das vezes é necessário uma boa dose de interpretação para que possamos relacionar os conteúdos envolvidos nas questões.

Então, vamos à solução do problema:

Se o trenzinho anda sobre uma pista circular com 20 estações e pára de 6 em 6 estações, temos - a princípio - dois números inteiros envolvidos: 6 e 20.

Agora: o que devo usar? MDC ou MMC?

Para pensar melhor,  vamos pensar que a pista não é circular, mas reta.   E são dois trens ao invés de um só.

Por quê?

Porque, para sua visualização mental, fica mais fácil entender essa imagem:

“Dois trens A e B partem no mesmo sentido, da mesma estação mas em linhas diferentes.   Se o trem A pára de 20 em 20 estações e o trem B pára de 6 em 6 estações, após quantas estações eles irão se encontrar novamente?  (na mesma estação, claro…)“

Agora pense um pouco.  Considerando N o número de estações, nessa situação, o que você deseja:

a) encontrar dois números diferentes a e b tais que N = 20 x a e N = 6 x b?    (nesse caso, N será o MMC entre 20 e 6, ou seja, MMC(20, 6) = 60)

ou

b) encontrar dois números diferentes m e n tais que m = 20 x N e n = 6 x N?    (nesse caso, N será o MDC entre 20 e 6, ou seja, MDC(20, 6) = 2)

OBS.: Caso você não lembre como calcular o MMC ou o MDC, você poderá pesquisar isso em um dos links ao final do texto ou, de forma mais direta, usando a calculadora de MMC e MDC online, no sítio www.profcardy.com.

Uma rápida observação mostra que o segundo caso não traduz a resposta que procuramos, porque após 2 estações os trens ainda estão em movimento, certo?   Isto significa que os dois trens irão se encontrar na estação de número 60, entende?

E como voltar com esse raciocínio para a questão original?

Simples.   Após analisar a questão e decidir sobre o que usar - MDC ou MMC - e determinar tal valor, você deve lembrar que, como são 20 estações sobre uma pista circular, significa que, a cada 20 estações ultrapassadas, o trem completou uma volta, concorda?

Como já sabemos que o problema é sobre MMC, se dividirmos esse valor (60) pela quantidade de estações (20) obteremos o número de voltas (n), certo?

Então:

Portanto, o trenzinho dará 3 voltas até chegar novamente na estação de onde partiu.

Agora, para saber o número de estações, basta que você pense o seguinte: em 3 voltas o trem percorre, ao todo, 60 estações.   Como ele pára a cada 6 estações, é natural pensar que, dividir o número total de estações (60) pela quantidade de estações que ele pára (6) , fornecerá o número de paradas (p) que ele fez, concorda?

Então:

Portanto, o trenzinho faz 10 paradas (contando com a última, isto é: 9 + 1 = 10 paradas) até chegar novamente na estação de onde partiu.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

• Só Matemática: MDC e MMC
• Wikipédia: MDC e MMC
• Matemática Essencial

ATENÇÃO: Reposição e Recuperação para os alunos do CEAP

 

Última chamada para os alunos que NÃO fizeram uma das avaliações bimestrais ou NÃO fizeram a avaliação de recuperação.   Comparecer no colégio terça-feira, dia 14/07/2008 para a realização das mesmas. 

 

Turma 1001
01	Ana Carolina Lima Pereira
09	Diego Fernandes Gomes da Silva
10	Diogo Souza Silva
13	Henrique José Cordeiro Cunha
17	Kelly Rezende Moreira
21	Ruthierre de Oliveira Herdy
23	Tadeu Lopes dos Santos
26	Valeria Pereira Alves Lopes
30	Charles do Espírito Santo Vieira
31	Solana da Conceição Rezzier
Turma 1002
04	Carla Caroline Manso de Souza
09	Elivelton Ferreira da Silva
16	Jeisa da Silva Paiva
17	Jeisiane da Silva Paiva
18	Jéssica da Silva Sodré
Turma 2001
03	Ana Karoline Maia Dias
04	Dayane Mathias Shumacker
05	Djessika Coelho Mathias
06	Emanuel da Silva Araújo
07	Felipe de Souza Reis
08	Fernanda Campista Gonçalves
11	Géssica Ramos Silva
12	Gleisiane Alves Lima
13	Jean de Carvalho Fonseca
14	Jonas Pinho da Costa
16	Juliana Macedo Pinto
17	Kissila Teodoro Gonçalves Jardim
20	Luan Luiz Furtado Machado da Cruz
26	Mayara Campos Hermsdorff de Azevedo
28	Ronaldo da Silva Lima
30	Taylane do Valle Silva
31	Thaiany Ladeira Bonafé de Souza
33	Thuany Fellipe Novaes

A viagem da Caroline

Oi Caroline, tudo bem?

O problema que você tem dúvida, interpretado com calma, fica fácil de ser montado e, consequentemente, solucionado.

Primeiro, vamos chamar de “v”, a velocidade média e de “t”, o tempo gasto no percurso de 360km.

Assim, podemos traduzir as informações dadas, observe:

“Um automóvel viajando em determinada velocidade média completou um percurso de 360km em t horas.“  Então:

v = 360/t     (1ª eq.)

“Caso essa velocidade fosse aumentada em 30km/h, a viagem teria durado uma hora a menos.“  Então:

v + 30 = 360/t - 1     (2ªeq.)

Notou que dessa forma obtemos um sistema de equações do 1° grau (com v e t)?

Agora ficou simples.   Basta substituirmos a 1ª equação na 2ª equação:

360/t + 30 = 360/t - 1

(360 + 30t)/t = 360/t - 1

(360 + 30t)(t - 1) = 360t

360t - 360 + 30t² - 30t = 360t

 - 360 + 30t² - 30t = 0

 30t² - 30t - 360 = 0

(÷ 30)

 t² - t - 12 = 0

A equação quadrática encontrada possui raízes iguais a -3 e 4 (verifique!) e, como a grandeza calculada é o tempo t, não precisamos do valor negativo, pois não traduz significado físico ao problema, certo?

Portanto, o tempo gasto na viagem foi de 4 horas.

Entendeu?

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

• Educar/USP: Conceitos Básicos
• Wikipédia: Cinemática
• Matemática Essencial

 

Paulo e a divisão com decimais

Oi Paulo, tudo bem?

Saiba que a sua dúvida é mais comum do que você imagina, por isso a maioria das pessoas nem toca no assunto.

Vamos lá:

Primeiro, vamos lembrar que a operação divisão popriamente dita é, na verdade, um processo recursivo, isto é, um algoritmo que aplicamos e reaplicamos até quando uma condição é satisfeita.

No caso, essa condição é a seguinte: enquanto o resto (r) da divisão for igual ou maior do que o divisor (d), repetimos o processo.

E isso é equivalente a dizer exatamente o contrário: quando o resto (r) da divisão for menor do que o divisor (d), encerramos o processo. Para divisões onde desejamos apenas quocientes (q) inteiros (ou seja, não decimais com dividendo (D) e divisor (d) também inteiros).

De forma linear, podemos escrever o algoritmo da divisão como:

D = d.q + r

Então, para efetuarmos uma divisão entre números decimais, basta que igualemos o número de casas decimais do para que possamos seguir com o processo descrito acima.

E por que precisamos fazer isso?

Note que todo número decimal é, na verdade, a representação linear de uma fração decimal (ou múltipla desta), assim:

Quer dizer, a quantidade de casas decimais após a vírgula sempre indicará quantos zeros haverá no número múltiplo de 10 que será, necessariamente, o denominador da fração.

Então, precisamos fazer isto (igualar o número de casas decimais após a vírgula) para que possamos efetuar o cálculo da divisão dentro do (único) processo conhecido.

Por exemplo, se quero dividir 12,345 por 1,2, devo igualar as casas decimais porquê:

Então, observe que, para efetuarmos a divisão de 1988,43 por 7,8414, como você sugeriu, precisamos, primeiro, igualar o número de casas decimais, assim:

Agora, é efetuar a divisão como a conhecemos:

1º passo:

 

198843‘00     | 78414         

  - 156828     | 2

      42015

 

2º passo:

 

198843′0‘0     | 78414         

    420150       | 25

 - 392070       |

     28080

  

 3º passo:

 

 198843′0′0′     | 78414         

     280800       | 253

  - 235242       |

     45558

 

4º passo:

 

 198843′0′0′     | 78414         

     455580       | 253,5          (colocamos zero no resto para continuar a divisão)

  - 392070       |

      63510

 

5º passo:

 

 198843′0′0′     | 78414         

     635100       | 253,58       (colocamos zero no resto para continuar a divisão)

  - 627312       |

      77880

 

6º passo:

 

 198843′0′0′     | 78414         

     778800       | 253,5809     (colocamos zero no resto e no quociente

   - 705726      |                    para continuar a divisão)

      73074

7º passo:

 

 198843′0′0′     | 78414         

     730740       | 253,58099    (colocamos zero no resto 

   - 705726      |                      para continuar a divisão)

      25014

E vou parar por aqui, já que o exemplo que você escolheu parece não terminar tão cedo…

Mas como você pôde acompanhar, temos uma aproximação bastante razoável (4 casas decimais) para a divisão de 1988,43 por 7,8414.

Se você tiver acesso a uma calculadora científica ou financeira (e, caso não tenha, no seu sistema operacional - Linux ou Windows, tanto faz - você encontrará uma calculadora em INICIAR>PROGRAMAS>ACESSÓRIOS, e no menu EXIBIR poderá escolher pelo formato CIENTÍFICO, de forma a obter mais de duas casas decimais nas operações elementares como esta divisão).

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

• Matemática Essencial
• Só Matemática
• Mathematikos

As bandeiras da Lorena

Oi Lorena, tudo bem?

A dúvida que você postou é sobre Permutação com Repetição.

Então, formar sinais diferentes com as 3 bandeiras azuis, as duas bandeiras vermelhas e a bandeira branca, significa formar sinais coloridos com as 6 bandeiras em uma certa sequência (aleatória) com as bandeiras disponíveis.

Por exemplo:

(1ª) azul, (2ª) vermelha, (3ª) azul, (4ª) vermelha, (5ª) branca, (6ª) azul

É uma das sequências possíveis.

Porém, note que, se mudarmos as duas bandeiras vermelhas de posição, continuamos com a mesma sequência, concorda?

O resultado que encontraremos com a fórmula da Permutação com Repetição será exatamente o número total de sinais diferentes - usando as seis bandeiras - já descontados os casos em que os sinais se repetem quando mudamos bandeiras com as mesmas cores de posição.

A fórmula para a Permutação com Repetição é a seguinte:

P_{n, (a1, a2, a3, …, ak)}

Onde n é o número total de elementos e cada a_i (i =1, 2, 3, …, k) representa o número de vezes que um elemento se repete no conjunto.

Assim, retiramos as informações necessárias do enunciado do problema:

n = 6 (número total de bandeiras)

a1 = 3 (número de bandeiras azuis)

a2 = 2 (número de bandeiras vermelhas)

E aplicamos na fórmula acima:

P_{6, (3, 2)} =

P_{6, (3, 2)} =

P_{6, (3, 2)} =

P_{6, (3, 2)} =

Portanto, podemos formar 60 sinais diferentes com 3 bandeiras azuis, 2 bandeiras vermelhas e uma bandeira branca.

Entendeu?

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

• Matemática Essencial
  
• Wikipédia
• Mundo Vestibular

Olia ço ki maravilia!

Eis aqui um programa de cinco anos para resolver o problema da falta de autoconfiança do brasileiro na sua capacidade gramatical e ortográfica.

Em vez de melhorar o ensino, vamos facilitar as coisas, afinal, o português é difícil demais mesmo.

Para não assustar os poucos que sabem escrever, nem deixar mais confusos os que ainda tentam acertar,  faremos tudo de forma gradual.

PRIMEIRO ANO

No primeiro ano, o “Ç” vai substituir o “S” e o “C” sibilantes, e o “Z” o “S” suave.

Peçoas que açeçam a internet com freqüênçia vão adorar, prinçipalmente os adoleçentes.

O “C” duro e o “QU” em que o “U” não é pronunçiado çerão trokados pelo “K”, já ke o çom é ekivalente.

Iço deve akabar kom a konfuzão, e os teklados de komputador terão uma tekla a menos, olha çó ke koiza prátika e ekonômika.

SEGUNDO ANO

Haverá um aumento do entuziasmo por parte do públiko no çegundo ano, kuando o problemátiko “H” mudo e todos os acentos, inkluzive o til, seraum eliminados.

O “CH” çera çimplifikado para “X” e o “LH” pra “LI” ke da no mesmo e e mais façil.

Iço fara kom ke palavras como “onra” fikem 20% mais kurtas e akabara kom o problema de çaber komo çe eskreve xuxu, xa e xatiçe.

Da mesma forma, o “G” ço cera uzado kuando o çom for komo em “gordo”, e çem o “U” porke naum çera preçizo, ja ke kuando o çom for igual ao de “G” em “tigela”, uza-çe o “J” pra façilitar ainda mais a vida da jente.

TERCEIRO ANO

No terçeiro ano, a açeitaçaum publika da nova ortografia devera atinjir o estajio em ke mudanças mais komplikadas serão poçiveis.

O governo vai enkorajar a remoçaum de letras dobradas que alem de desneçeçarias çempre foraum um problema terivel para as peçoas, que akabam fikando kom teror de soletrar.

Alem diço, todos konkordaum ke os çinais de pontuaçaum komo virgulas dois pontos aspas e traveçaum tambem çaum difíçeis de uzar e preçizam kair e olia falando çerio já vaum tarde.

QUARTO ANO

No kuarto ano todas as peçoas já çeraum reçeptivas a koizas komo a eliminaçaum do plural nos adjetivo e nos substantivo e a unificaçaum do U nas palavra toda ke termina kom L como fuziu xakau ou kriminau ja ke afinau a jente fala tudo iguau e açim fika mais faciu.

Os karioka talvez naum gostem de akabar com os plurau porke eles gosta de falar xxx nos finau das palavra mas vaum akabar entendendo.

Os paulista vaum adorar.

Os goiano vaum kerer aproveitar pra akabar com o D nos jerundio mas ai tambem ja e eskuliambaçaum.

QUINTO ANO

No kinto ano akaba a ipokrizia de çe kolokar R no finau dakelas palavra no infinitivo ja ke ningem fala mesmo e tambem U ou I no meio das palavra ke ningem pronunçia komo por exemplo roba toca e enjenhero e de uzar O ou E em palavra ke todo mundo pronunçia como U ou I, i ai im vez di çi iskreve pur ezemplu kem ker falar kom ele vamu iskreve kem ke fala kum eli ki e muito milio çertu ?

Os çinau di interogaçaum i di isklamaçaum kontinuam pra jente çabe kuandu algem ta fazendu uma pergunta ou ta isclamandu ou gritandu kom a jenti e o pontu pra jenti sabe kuandu a fraze akabo.

Naum vai te mais problema ningem vai te mais eça barera pra çua açençaum çoçiau e çegurança pçikolojika todu mundu vai iskreve sempri çertu i çi intende muitu melio i di forma mais façiu e finaumenti todu mundu no Braziu vai çabe iskreve direitu ate us jornalista us publiçitario us blogeru us advogado us iskrito i ate us pulitiko.

Olia ço ki maravilia!

Diego e o paralelepípedo

Oi Diego, tudo bem?

A sua dúvida é, como várias que respondi aqui mesmo no blog, uma aplicação direta do conceito de dilatação térmica dos sólidos e a correta aplicação da fórmula, claro.

Vamos lá então:

De forma geral, o problema é o seguinte: qual será o (novo) volume do paralelepípedo quando a temperatura variar, certo?

Observe que, como a variação da temperatura é negativa (ela passa de 20ºC para -10ºC, portanto, diminui) o que acontecerá com o volume do sólido é que ele irá diminuir. Esse processo é chamado de contração térmica, que é - exatamente - o contrário da dilatação térmica.

E para resolver matematicamente esse problema, precisamos usar a fórmula para a dilatação volumétrica dos sólidos, que é:

ΔV = V_o x γ x ΔT

Então, retiramos do enunciado as informações necessárias para a resolução do problema:

V_o = (1000 x 1500 x 2000) cm³ = (1,0 x 1,5 x 2,0) m³ = 3,0 m³ (volume inicial do paraleleípedo)

T_o = 20°C (temperatura inicial do paraleleípedo)

T = -10°C (temperatura final do paraleleípedo)

α_alumínio = 24 x 10^-6 °C^-1  (coeficiente de dilatação linear do aluminío)

ΔV = ? (ΔV = V - V_o  = variação do volume do paralelepípedo - é o que desejamos calcular para determinarmos o volume final, certo?)

Agora, lembre que existe uma relação entre os coeficientes de dilatação linear (α), superficial (β) e volumétrica (γ):

 β = 2α

e

γ = 3α

Desta forma, podemos substituir as informações dadas na fórmula:

ΔV = V_o x γ x ΔT

ΔV = 3,0 x 3.24.10^-6 x (-10 - 20)

ΔV = 3,0 x 72.10^-6 x (-30)

ΔV = 216.10^-6 x (-30)

ΔV = 216.10^-6 x (-30)

ΔV = -6480.10^-6

ΔV = -0,0648

Ou seja, o volume do paralelepípedo variou - negativamente - 0,0648 m³.   Isto significa que houve uma contração térmica (o volume reduziu), como era de se esperar realmente.

Agora ficou fácil determinar o volume final, pois:

ΔV = V - V_o 

-0,0648 = V - 3,0

3,0 - 0,0648 = V

V = 2,99352

Portanto, o volume final do paralelepípedo será de 2,99352 m³.

Entendeu?
Bons Estudos!

Para Saber Mais:

• Cola da Web - Física
• Geocities - Galileon
• Wikipédia

Zena e as camisetas

Oi Zena, tudo bem?

A dúvida que você expõe sobre o problema é, na verdade, um caso simples de divisão.

Desde que avaliado com cuidado, claro.

Observe que, se você deseja que o custo total (c) de camisetas seja de R$ 7,00, significa que esse mesmo custo total, divido por 7, informará o número de camisetas (n), concorda?

Ou seja:

Então, o que precisamos pensar realmente é no valor do custo total (c) que, substituido na igualdade acima, permitirá que encontremos o resultado procurado (n = n° de camisetas), certo?

De acordo com o enunciado, o custo é dividido em duas partes, em função do n° de camisetas (n):

1) R$ 90,00 (independente de n)

2) R$ 6,50 (dependente de n)

Assim, podemos escrever que o custo total equivale ao somatório de ambos os valores mencionados acima, correto?

Mas atenção: como a quantidade de camisetas possui custo unitário, devemos pensar que, se n é o número de camisetas procurado, então o custo de n camisetas (apenas) equivale ao produto de n por R$ 6,50.

Agora podemos escrever a relação para o custo total:

E, substituindo o valor do custo total (c) na primeira igualdade, obtemos:

Portanto, nas condições dadas do problema, poderão ser encomendadas 180 camisetas.

Entendeu?

Para Saber Mais:

• Matemática Essencial
• Wikipédia
• Equações