Ana Clara e os restos da divisão por 5

Oi Ana Clara, tudo bem?

A dúvida que você postou é simples de ser entendida, embora faça parte de um assunto mais amplo chamado Classe de Restos, que faz parte de um ramo de estudo muito importante da matemática pura chamado Teoria dos Números, que trata do estudo dos números inteiros.

Vamos lá.

Ao efetuar uma divisão entre dois números (inteiros) poderão acontecer duas coisas:

  1. a divisão ser exata e o resto igual a zero; ou
  2. a divisão não ser exata e o resto diferente de zero.

O 1º caso não tem muito o que analisar, uma vez que podemos classificá-lo como sendo a 1ª possibilidade entre os restos de uma divisão, concorda?

Então, vamos analisar o 2º caso.

Se a divisão não for exata, quais serão os possíveis valores (inteiros) para o resto?

Vamos pensar devagar.

Se dividirmos qualquer número (inteiro) por 2, poderemos ter os seguintes restos: zero (divisão exata) ou 1.

Isto porque se o resto (r) for um número maior ou igual a 2 (r > 2) podemos continuar com a divisão, concorda?

Então, o conjunto dos possíveis restos da divisão por 2 será:

r(2) = {0, 1}

Vamos pensar mais um pouco.

Se dividirmos qualquer número (inteiro) por 3, poderemos ter os seguintes restos: zero (a divisão é exata), 1 ou 2.

Pelo mesmo motivo, se o resto for maior ou igual a 3 (r > 3) podemos continuar com a divisão, concorda?

Então, o conjunto dos possíveis restos da divisão por 3 será:

r(3) = {0, 1, 2}

E este resultado pode ser generalizado, observe:

“Se n é um inteiro não-nulo, então o conjunto dos possíveis restos de uma divisão por n será:

r(n) = {0, 1, 2, 3, …, n-1}“

Assim, em resposta à sua dúvida, o conjunto dos possíveis restos de uma divisão por 5 será igual a:

r(5) = {0, 1, 2, 3, 4 }

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos!

Para Saber Mais:

Shirley e o problema do 1º grau

Oi Shirley, tudo bem?

Realmente o problema que está lhe causando “dores de cabeça” é, de fato, simples de ser resolvido.

Trata-se de um problema que envolve um Sistema de Equações do 1º grau e, como você mesma afirmou, a resolução é montar o sistema e depois resolvê-lo.

Então, vamos lá.

1. um número tem 8 unidades a mais que outro número

Um número: x

Outro número: y

Um número com 8 unidades a mais que outro número: x+8=y

2. a soma deles (dos dois números) é igual a 54

x+y=54

Notou que obtive duas equações em (1) e (2) envolvendo as duas incógnitas (números desconhecidos)?

Então, agora basta resolvermos o Sistema de Equações do 1º grau formado por essas duas equações:

1ª equação: x+8=y

2ª equação: x+y=54

Observe que podemos substituir a 1ª equação na 2ª equação, obtendo uma única equação com uma única incógnita:

x+y=54

x+(x+8)=54

x+x+8=54

2x=54-8

x=\frac{46}{2}

x=23

Agora, basta substituir o valor encontrado para x na 1ª equação para encontrarmos o valor de y, assim:

x+8=y

23+8=y

31=y

ou

y=31

Fácil, não?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

O resto da divisão da Regina Sheila

Oi Regina, tudo bem?

A dúvida que você enviou causa dificuldade mesmo porque não é costume da maioria pensar em problemas dessa natureza. Mas é um problema cuja resolução é simples.

Vamos lá.

Primeiro, lembre que o processo de divisão conta com os seguintes elementos: divisor (d), dividendo (D), quociente (q) e resto (r).

Dessa forma, podemos escrever o Algoritmo da Divisão:

D=d \cdot q + r

Agora, vamos pensar no enunciado do problema e usar o Algoritmo da Divisão para as informações dadas, substituindo os valores conhecidos.

Assim:

1. o número p é natural e, quando dividido por 13, deixa resto igual a 5;

p=13 \cdot q + 5

2. qual o resto da divisão de p – 5 por 13?

Observe que, da igualdade anterior, podemos chegar a essa resposta:

p=13 \cdot q + 5

p-5=13 \cdot q

dividindo ambos os lados da igualdade por 13, obtemos

\frac{p-5}{13}=\frac{13 \cdot q}{13}

então

\frac{p-5}{13}=q

Isto significa que a divisão de p – 5 por 13 é igual ao quociente (q) somente, ou seja, a divisão é exata.

E toda divisão exata tem resto igual a zero!

Entendeu?

Aliás, repare que essa informação está implícita no Algoritmo da Divisão que escrevi (ali em cima):

D=d \cdot q + r

D-r=d \cdot q

então

\frac{D-r}{d}=q

ou

\frac{D-r}{q}=d

Então, sempre que subtraírmos o dividendo (D) pelo resto (r), a divisão se torna exata.

Observe um exemplo bem simples: 11 dividido por 2.

É uma continha fácil e rápida de se fazer, inclusive mentalmente, certo?

Mas vamos usar o Algoritmo da Divisão para pensar no resultado acima:

11=2 \cdot 5 + 1

11-1=2 \cdot 5

10=2 \cdot 5

então

\frac{10}{2}=5

ou

\frac{10}{5}=2

Simples, não?

Espero ter ajudado.

Bons Estudos.

Para Saber Mais:

Kamilla e a força elétrica

Olá Kamilla, tudo bem?

A dúvida que você postou (apesar do desespero) é, na verdade, simples de ser resolvida e faz parte do conteúdo de física chamado Eletrostática.

Aliás, a questão do fenômeno físico em si é – também – extremamente simples porque, como você já deve saber, cargas elétricas com sinais opostos se atraem, com sinais iguais se repelem. E pronto!

Agora, chegar a um resultado matemático sobre alguns desses problemas é que causam dúvidas, não é?

Veja, nese caso os dois pontos que geram as maiores dúvidas são em conteúdos matemáticos e não físicos: operações com potências de dez (números escritos em notação científica) e propriedades das potências (principalmente as duas mais conhecidas e usadas: produto e quociente de potências de mesma base).

Vamos lá.

As cargas elétricas possuem mesmo valor e mesmo sinal então, não poderia ser diferente do enunciado do problema: elas irão se repelir mesmo…

Nesse caso podemos representar ambas as cargas por uma única letra, digamos “q“.

A expressão para a determinação da Força Elétrica entre duas cargas elétricas é

F= k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{d^2}

Onde:

F: é a Força Elétrica (N = Newton – unidade de força) de interação entre as cargas elétricas q_1 e q_2

K: Constante Eletrostática (k = 9.109 N.m2/C2)

q: Carga Elétrica (C= Coulomb – unidade de carga elétrica)

d: Distância entre as cargas elétricas (m = metro – unidade de distância)

Bem, as informações dadas no enunciado do problema são as seguintes:

F = ? (é o que desejamos calcular, certo?)

K = 9.109 N.m2/C2 (seu valor não é dado no enunciado, mas em geral os alunos devem (ou deveriam saber)

q = 10^{-12} (em módulo, já que ambas as duas cargas são negativas)

d = 10^{-4} (medida da distância entre as duas cargas elétricas dadas)

Agora, basta substituir os valores informados (e devidamente convertidos para as unidades do S.I., quando for o caso) na fórmula descrita acima:

F= k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{d^2}

F= 9,0 \cdot 10^{9} \cdot \frac{(10^{-12}) \cdot (10^{-12})}{(10^{-4})^2}

F= 9,0 \cdot 10^{9} \cdot \frac{(10^{-12})^2}{(10^{-4})^2}

F= 9,0 \cdot 10^{9} \cdot \frac{10^{-24}}{10^{-8}}

F= 9,0 \cdot 10^{9} \cdot 10^{-16}

F= 9,0 \cdot 10^{-7}

Ou seja, nas condições dadas no problema, a força de repulsão entre as duas cargas será de F= 9,0 \cdot 10^{-7} N.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Para Saber Mais:

Paulo e a área da sala

Olá Paulo, tudo bem?

A dúvida que você apresenta não é tão complicada quanto parece.   Na verdade, tudo se resume a transcrever as informações dadas do português para o “matematiquês”.

E se tudo for feito corretamente, teremos um Sistema de Equações do 2° grau para resolver e que nos fornecerá a solução procurada.

Vejamos:

Como a sala é retangular, podemos, sem nenhum problema, dar nomes aos seus lados em função das dimensões respectivas, já que uma será maior do que a outra.   Então, seja “x” o comprimento da sala e “y” a largura.

Sabemos que a diferença entre as dimensões dadas vale 7 metros, ou seja:

x-y=7

(eq.1)

Sabemos também que se adicionarmos 2 metros ao valor de cada uma das dimensões, o valor da área (da sala) dobra.

Bem, a área da sala é dada pela expressão:

A=x \cdot y

Assim, podemos escrever a seguinte expressão para a informação anterior:

(x+2) \cdot (y+2)=2xy

xy+2x+2y+4=2xy

2xy-xy-2x-2y-4=0

xy-2x-2y-4=0

(eq. 2)

Observe que as duas equações (1 e 2) encontradas formam um Sistema de Equações do 2° grau.

E é comum não se perceber isso porque “2° grau”, na maioria das vezes, significa ver o “exponte 2”.   Na verdade, se uma equação é do 2° grau,  significa que existe (pelo menos) uma parcela que é o produto das (duas) incógnitas, observe:

x^{2}=x \cdot x

xy=x \cdot y

Agora, para resolvermos esse sistema é simples: basta isolarmos uma das incógnitas da equação 1 e substituirmos na equação 2 (método da substituição), veja:

x=7+y

Substituindo na equação 2, temos:

(7+y)y-2(7+y)-2y-4=0

7y+y^{2}-14-2y-2y-4=0

y^{2}+3y-18=0

Ao resolver a equação quadrática acima, você verá que suas raízes são 3 e -6.

Mas o valor -6 não traduz significado físico ao problema, já que a incógnita “y” representa uma medida linear (a largura), portanto necessariamente positiva, certo?

Para o outro valor, basta substituirmos o valor encontrado para y (=3) em uma das duas equações.

Para economizar tempo, vou substituir na primeira, já que é uma equação menor.

Assim:

x=7+y

x=7+3

x=10

Portanto, as dimensões procuradas são x = 10 (comprimento) e y = 3 (largura).

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Para Saber Mais:

E os 10% do garçom?

O Sr. Márcio Carlos me enviou uma dúvida que é muito comum mas, como o próprio relata, ninguém o respondeu ainda.   Ele diz:

“Com tanta coisa dificil para perguntar, tenho uma que deve ser fácil, mas ninguém aqui me respondeu.

Lá vai:

Um garçon me apresenta uma conta de R$ 71,50, inclusa a gorjeta de 10%.

Como faço para saber o valor da conta sem os dez por centro e sem olhar a comanda?

Eu sei que o valor original é de R$ 65,00.

Por mais que faça contas não chego de forma alguma neste valor.

O Sr. pode me ajudar?

Grato desde já.”

**************************************************

Olá Sr. Márcio, tudo bem?

Às vezes, as dúvidas mais simples são as mais difíceis de serem indagadas porque as pessoas acham que farão papel de bobas, se expondo sem necessidade, essas coisas que só servem para atrasar a vida do ser humano.

Mas, realmente, dentre tantas outras dúvidas que seleciono para responder, a sua, além de inusitada foi extremamente sincera.

Por isso, aí vai sua resposta:

Digamos que você tenha feito um gasto de “R” reais num restaurante cuja conta já veio com os 10% incluso, somando um total de “T” reais.

Ora, isto significa que o valor total (T) corresponde ao valor do custo (R) mais 10% daquele valor (10% de R), certo?

Ou seja:

T = R + 10% de R

T = R + 10% x R

Colocando o valor “R” em evidência, temos:

T = R x (1 + 10%)

T = R x (1 + 10/100)

T = R x (1 + 1/10)

T = R x (1 + 0,1)

T = R x (1,1)

Chegamos então a uma igualdade que nos indica que o valor total da despesa (T) corresponde a 1,1 vezes o valor de custo da despesa (R) ou o equivalente a 110%.

Então, respondendo à sua pergunta:

Para saber o valor (real) da despesa “R“, basta dividir o valor total “T” (aquele da comanda) por 1,1.

Simples não?

Para Saber Mais:

José Wesley e a escala de trabalho

O José Wesley enviou sua dúvida por e-mail.

“Olá Professor.

Queria entender o raciocínio para o tipo de questão seguinte:

Um determinado soldado trabalha em escala 12/24 e  outro soldado trabalha em escala 9/18. Após quantas horas os dois irão se encontrar novamente?

Grato.”

Realmente, a dúvida do José Wesley é pertinente e relevante porque todos os problemas que envolvem o raciocínio de MDC e/ou MMC sempre têm uma dose extra de subjetividade, isto é, depende muito da interpretação de quem lê.

Vamos lá.

Para determinar em quantas horas os dois soldados irão se encontrar novamente, precisamos pensar nas informações dadas relativas às suas respectivas escalas de trabalho:

soldado A -trabalha 12 horas – folga 24 horas

e

soldado B – trabalha 9 horas – folga 18 horas

Esse tipo de problema envolve uma comparação implícita, de forma que se faz necessário uma referência (inicial) para que a comparação (entre os dois objetos envolvidos) faça sentido.

Observe que se eles irão se encontrar novamente, é porque eles já estiveram juntos, concorda?

Isto significa que podemos supor (nesse problema) que ambos os soldados iniciaram suas jornadas de trabalho juntos.

E aqui reside o ponto crucial do entendimento e da interpretação do problema.    Por quê?

Porque se eles irão se encontrar após uma quantidade de horas específica (e igual para ambos), a soma das horas de trabalho com as horas de folga deverão totalizar o mesmo tempo (decorrido) para ambos.

Como assim?

É simples, veja:

Os soldados começam a trabalhar juntos, folgam separados, voltam a trabalhar separados, folgam separados, voltam a trabalhar separados, e esse processo se repete até que eles se encontrem, certo?

Isto significa que o total de tempo (em horas) decorrido corresponde à soma das horas trabalhadas com as horas de folga. E, como disse acima, o total de horas deverá ser igual para ambos os soldados.

Dessa forma podemos escrever duas equações para os dois soldados, observe:

soldado A: nº horas trabalhadas + nº horas de folga = tempo total (em horas)

e

soldado B: nº horas trabalhadas + nº horas de folga = tempo total (em horas)

Substituindo as informações dadas no enunciado e chamando o tempo total de “h“, temos:

soldado A:  12n+24n=h

e

soldado B:  9m+18m=h

Arrumando ambas as equações, obtemos:

36n=h

e

27m=h

As duas equações indicam que o valor “h” (tempo total) é divisível por 36 e por 27 simultaneamente, ou seja, h é o menor múltiplo de 36 e de 27.   Então:

MMC(27, 36)=h

Para determinar “h“, basta fatorarmos os números 27 e 36:

27=3^{3}

e

36=4 \cdot 9=2^{2} \cdot 3^{2}

Então,

MMC(27, 36)=2^{2} \cdot 3^{3}=4 \cdot 27=108

Portanto os soldados irão se encontrar após 108 horas de trabalho.

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Para Saber Mais:

A equação exponencial da Luzilene

Oi Luzilene, tudo bem?

A dúvida que você postou sobre Equações Exponenciais é, na verdade, simples.   Desde que você lembre das Propriedades das Potências para isso.

Vamos lá.

Você quer a solução (ou conjunto verdade) da equação

5^{x+2}-5^{x+1}=100

Isto significa que precisamos determinar o valor da incógnita “x” tal que, quando substituída pelo seu valor correto, o resultado encontrado seja igual a 100.

Observe que as duas parcelas da equação são potências de base 5 com expoentes compostos.

Então, para melhorar a expressão dada, precisamos utilizar uma das propriedades das potências para isso:

a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}

Veja:

5^{x+2}=5^{x} \cdot 5^{2}

e

5^{x+1}=5^{x} \cdot 5^{1}

Assim, podemos resolver a equação dada.  Observe:

5^{x+2}-5^{x+1}=100

5^{x} \cdot 5^{2}-5^{x} \cdot 5^{1}=100

Podemos colocar a potência 5^{x} em evidência e, dessa forma:

5^{x}(5^{2}-5^{1})=100

5^{x}= \frac{100}{20}

5^{x}=5

logo,

x=1

Ou seja, se x = 1, a equação será verdadeira.   E, de fato:

5^{1+2}-5^{1+1}=5^{3}-5^{2}=125-25=100

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Para Saber Mais:

As gotas do Fábio

Oi Fábio, tudo bem?

A dúvida que você postou trata de um tópico da Física chamado Queda Livre, cuja análise é feita de maneira análoga ao Movimento Univformemente Variado (MUV).

Só que na vertical, claro… 😉

Para resolver esse problema, você deve entender bem a situação física para, então, efetuar os devidos cálculos utilizando as devidas “ferramentas”, que são as fórmulas matemáticas.

Vamos lá.

Temos uma torneira que está exatamente a 1,0 metro do solo e que pinga 3 gotas a cada minuto.

É bom lembrar que esta situação representa um modelo de estudo, para que possamos considerar que as 3 gotas tenham a mesma massa.

Vamos analisar a situação:

G1, G2 e G3 são as três gotas consecutivas que pingam durante o intervalo de 3 minutos.

Para determinarmos a velocidade com que uma gota (no caso a primeira, G1) atinge o solo, precisamos usar a Função Horária da Velocidade para o movimento em Queda Livre.

E qual é essa fórmula?

Observe:

Na verdade, o movimento em Queda Livre tem características simples que facilitam a análise.

A velocidade inicial é nula, isto é:

V0 = 0 m/s

E a gravidade (que aqui aproximarei o valor para 10,0 m/s²) é a única aceleração atuante na variação da velocidade da gota, ou seja, à medida que a gota cai, sua velocidade aumenta (até atingir o solo).

Agora é preciso lembrar da Função Horária da Velocidade (para o MUV HORIZONTAL) :

V(t) = V0 + at

Onde:

V(t) = velocidade no tempo “t”;

V0 = velocidade inicial (em m/s);

a = aceleração (em m/s²);

t = tempo (em segundos)

Comparando essa expressão de um movimento (acelerado) horizontal com a situação dada (movimento acelerado vertical), podemos concluir que:

V(t) = velocidade no tempo “t”;

V0 = 0 m/s (zero ou nula, já que a gota está “parada” dentro do cano antes de cair);

a = g (aceleração da gravidade; com g < 0);

t = tempo (em segundos)

E, nesse caso, a Função Horária da Velocidade (para um movimento acelerado vertical) pode ser escrita como:

V(t) = gt

E o problema estaria resolvido se soubéssemos o valor de “t”, isto é, quanto tempo uma gota (no caso a primeira, G1) gasta para atingir o solo.  Isto significa que precisamos calcular esse tempo primeiro.

Para isso, podemos utilizar a Função Horária dos Espaços (para o MUV), que fornece a posição do móvel em função do tempo.   A expressão básica para essa função é:

S(t) = S0 + V0t + at2/2

Analogamente, podemos fazer a análise comparativa com o movimento de Queda Livre, para encontrarmos a expressão:

H(t) = H0 + gt2/2

Note que H(t) representa a distância percorrida (no caso, altura) em função do tempo “t”.   O valor da gravidade “g”, deverá ser negativo, por ter sinal contrário ao da trajetória (positiva, de baixo para cima).

Então:

H(t) = H0 + gt2/2

0 = 1,0 + (-10)t2/2

1,0 = 5t2

t2 = 1/5

t = √5/5

ou, aproximadamente,

t = 0,45 seg

Uma vez determinado o tempo que uma gota leva para cair 1,0 metro, podemos determinar com que velocidade ela atinge o solo usando a Função Horária da Velocidade:

V(t) = gt

V = (-10) x √5/5

V = -2√5 m/s

ou, aproximadamente,

V = – 4,5 m/s

Observe que o sinal da velocidade é negativo.   Ele (o sinal negativo) apenas indica que o sentido do movimento é contrário ao sentido da trajetória estabelecida (positiva, de baixo para cima).

Agora, para determinarmos o intervalo de de tempo (Δt) que separa a batida de duas gotas no solo, basta um pouco mais de atenção à situação.

Observe:

A situação-problema pode ser descrita através da seguinte seqüência:

···Δt → G1 → Δt → G2 → Δt → G3 →Δt···

1. cai a primeira gota (G1)

···Δt → G1

2. após um intervalo de tempo (Δt) cai a segunda gota (G2)

···Δt → G1 → Δt → G2

3. após um intervalo de tempo (Δt) cai a terceira gota (G3)

··Δt → G1 → Δt → G2 → Δt → G3

Considerando o modelo da situação-problema, vamos supor que não haja nenhum tipo de atrito ou fator que possa modificar o tempo com que cada gota cai, ou seja, as 3 gotas gastam o mesmo tempo para atingir o solo e o intervalo de tempo (Δt) entre a primeira gota (G1) e a segunda (G2) e a segunda (G2) e a terceira (G3) são iguais.

Na verdade, quando a terceira gota (G3) atinge o solo o tempo alcança a marca dos 3 minutos porque a razão dada no enunciado do problema é exatamente esta: 3 gotas/min.

Isto significa que após a terceira gota (G3) ter atingir o solo e decorrer o mesmo intervalo de tempo (Δt) entre as gotas, o “pinga-pinga” recomeça.

Concorda?

Então, através de uma igualdade simples podemos determinar o intervalo de tempo que separa as batidas de duas gotas  consecutivas no solo.

Veja:

Se somarmos todos os tempos (que as gotas gastam para atingir o solo mais o intervalo entre elas) teremos um total de 3 minutos.

Observe novamente a seqüência descrita acima com os respectivos tempos inseridos no contexto:

  1. cai a primeira gota (G1) → tempo de queda: t = 0,45s
  2. após um intervalo de tempo (Δt) cai a segunda gota (G2) → tempo de queda: t = 0,45s
  3. após um intervalo de tempo (Δt) cai a terceira gota (G3) → tempo de queda: t = 0,45s

Assim, podemos escrever a seguinte igualdade:

tempo de queda gasto pela G1 + tempo entre G1 e G2 + tempo de queda gasto pela G2 + tempo entre G2 e G3 + tempo de queda gasto pela G3 = 3 minutos

0,45 + Δt + 0,45 + Δt + 0,45 = 3 minutos

3 x 0,45 +2Δt = 3 x 60 = 180 segundos

2Δt = 180 – 1,35

2Δt = 178,65

Δt = 178,65/2

Δt = 89,325 segundos

ou, aproximadamente,

Δt = 1,49 minutos

Entendeu?

Espero ter ajudado.

Para Saber Mais:

Matemática Prática

Olá para todos!

Quero registrar a visita do Professor Homero Loureiro, que mantém um excelente site sobre Matemática para concursos públicos, o Matemática Prática (já devidamente “linkado” na barra lateral à direita na seção “Recomendo”).

Fico muito feliz e honrado em saber que um profissional do nível do Professor Homero visita e elogia este blogue.

O Matemática Prática é um Portal para concursos públicos onde o Professor Homero divulga e oferece material específico de altíssima qualidade para os diversos concursos públicos realizados no País.

Lá você encontrará dicas, macetes, bizús sobre resoluções de questões diversas, de assuntos e complexidades variados ligados à matemática, além de poder adquirir DVD’s, Vídeo Aulas e Apostilas especialmente e especificamente elaborados para os “concurseiros“.

Como o próprio Professor Homero descreve em sua página inicial:

“Espero que “matemática prática” venha despertar nas pessoas um interesse maior pela matemática. As dicas e macetes aos quais terás acesso irão demonstrar que a matemática é muito menos complicada do que a maioria das pessoas acham. Iremos também colocá-lo a par dos editais de abertura para os diversos concursos públicos do país, bem como questões resolvidas de provas de concursos anteriores”.

Um forte abraço para todos.

Marco Castro.

Para Saber Mais: